数学の問題一覧

問題

$$\sum_{n=0}^{180}sin^{2}(n°)\quad$$の値を求めよ。

問題文

正の整数 $a$ に対し、$v_2(a)$ を $a$ を割り切る $2$ の最大のべき指数とする。また、$\operatorname{popcount}(n)$ は非負整数 $n$ の二進表示に含まれる $1$ の個数を表す。

次の和を $101$ で割った余りを求めよ。

$$
\sum_{k=1}^{4^{76}-1}(-1)^{\operatorname{popcount}(3k)}v_2\left({}_{4^{76}}\mathrm{C}_k\right)
$$

解答形式

非負整数を用いて解答せよ

問題

$x$についての方程式
$$t=|x^{2}+(3k-1)x-4k^{2}-4k|+(k-1)x-5k^{2}-3k+10$$
がある。($k$は定数とする。)
このとき、$x$の実数解が4つとなる$t$の範囲を$k$を用いて表すと次のようになる。
$k<-a,k>b$のとき$-ck^{2}-dk+e < y < k+f$

$k=g$のとき$h < y < i$

$j < k < l$のとき$-mk^{2}+nk+o < y < k+p$

このときの$a,b,c\cdots j,l,m,n,o,p$に当てはまる数をつぎの(1)~(25)から選べ

(1)$\frac{1}{10}$
(2)$\frac{1}{9}$
(3)$\frac{1}{8}$
(4)$\frac{1}{7}$
(5)$\frac{1}{6}$
(6)$\frac{1}{5}$
(7)$\frac{1}{4}$
(8)$\frac{1}{3}$
(9)$\frac{1}{2}$
(10)$0$
(11)$1$
(12)$2$
(13)$3$
(14)$4$
(15)$5$
(16)$6$
(17)$7$
(18)$8$
(19)$9$
(20)$10$
(21)$11$
(22)$12$
(23)$13$
(24)$14$
(25)$15$

解答形式

行ごとのジャッチです。
$a=1$だとすると一行目に11と答える形になります。

問題

実数$a$に対して、複素数$z$が$z^2-2az+a^2+1=0$を満たしているとする。
また、この方程式の$2$つの解を$\alpha, \beta$とする。

このとき、$\alpha^4+\beta^4=0$を満たす実数をすべて求めよ。

解答形式

$a=(\quad)$の形式で書いてください。

問題文

四角形ABCDがあります
AB＝10、BC＝10√2、CD＝10、DC＝10です、DA上に点Eがあり、EB＝10、EC＝10√2です

このいびつな四角形の面積を求めると

$a(\sqrt{b}+c\sin(\pi/d))$

となりました、abcdの積を答えて下さい #### 解答形式 係数は互いに素な整数、或いは最簡形 bは平方根でない整数、pi/dは既約数 半角数字のみでお願いします

問題文

2次方程式のグラフ
$y=4x^{2}+26x+16$,
$y=-5x^{2}-kx-2k$
がある。
これらのグラフが接しているとき、$k$の値を求めよ。

問題

$2$ 以上の自然数 $n$ に対して、以下の操作を繰り返します。

【操作】
* $n$ が偶数のとき：$\dfrac{n}{2}$ を新たな $n$ とする。
* $n$ が奇数のとき：$n = 2m - 1$ となる自然数 $m$（すなわち $m = \dfrac{n+1}{2}$）を新たな $n$ とする。

この操作を繰り返し、値が初めて $1$ になるまでの操作回数を $N_n$ と定義します。

【例】
$n = 5$ のとき、$5 \to 3 \to 2 \to 1$ と変化するため、$N_5 = 3$ です。

このとき、$N_{2026}$ の値を求めてください。

答え方としては値を入力するだけでいいです。解いている中答えはわかるかもですが、nとガウス記号を用いて一般化できます。余裕があればぜひ。

問題文

正十二面体について次の(1)〜(3)を答えなさい

(1)12色を使って各面をそれぞれ塗り分けるとき、何通りあるか。ただし全ての色を使うこと。

(2)3色を使って各面をそれぞれ塗り分けるとき、何通りあるか。ただしどの色も必ず一回は使い、同じ色は隣接しても良いものとする。

(3)1つの頂点をAとする。頂点Aから出発し、1秒ごとに今いる頂点から辺でつながっている隣の頂点へ、それぞれ 1/3の等確率で移動する点Pを考える。点Pが出発してからちょうど10秒後 に、最初にいた頂点Pの位置(頂点A)に戻っている確率を求めよ。

解答形式

1行目に(1)の答えのみを答えてください。
(2)は2行目に答えてください。
(3)は3行目に答えてください。
x/yのように分数の場合、x+yの値を表記してください。

例
↓
1000通り
333通り
33333

問題文

$\ell,m,n を0以上の整数とする。$
$動点Pは、数直線上の0をスタートとし、以下の操作をn回行った後の座標をX_{n}とする。$

$1個のサイコロを1回振って1か2の目が出たら正の方向に\frac{1}{2^{m}}だけ移動(m回目の移動)し、$
$3か4の目が出たら負の方向に\frac{1}{2^{m}}だけ移動(m回目の移動)し、$
$5か6の目が出たら移動しないとする。$
$ただしmは、移動した回数を表し、初期値は0であり、$
$1〜4の目が出て移動するのが1回目なら1、m回目ならmであり、$
$5か6の目が出て移動しないときは増えずに、それまでの移動回数を保持する。$
$ゆえにmはサイコロを振った回数(操作回数)と同じになるとは限らない。( m\leq n)$

$X_{n}<\frac{1}{2^{\ell}} となる確率P_{\ell}を\ellとnを用いて表せ。必要ならばmを使ってもよい。 $

難易度

難易度は難関大学の入試問題レベルだと思います。
苦労して作ったので良問であってくれれば嬉しいです。

問

$0\leq\theta\leq\pi$を満たすとします。
$\alpha=\sin\theta$
$\beta=\sqrt{3}\cos\theta$
$\phi=\pi(\alpha+\beta)$
$\gamma=\sin(\frac{\phi}{4})$
$\delta=\cos(\frac{\phi}{4})$
としたとき、関数
$$
f(\theta)=\frac{1}{2}(\gamma-\delta)^{2}+(\gamma-\delta)
$$
の最大値、最小値とそのときの$\theta$の値をそれぞれ求めなさい。

注

最大値:その時の$\theta$
最小値:その時の$\theta$
のように解答してください。ただし$\theta$は弧度法での表記にすること。
$\pi$を含む分数は分子に$\pi$を、負の数は分子に"-"を持たせてください。
Texでの入力形式に合わせて入力してください。"$"マークは不要です。

問題

二次関数$P=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}+2x_{2}x_{3}+2x_{3}^{2}+\cdots +2x_{n}^{2}+2x_{n}+3$
があり、$x_{1}$から$x_{n}$までの値を実数の範囲内で個々に変化させていくとき、最小値を求めよ。

問題

$P=w^{2}+5x^{2}+6y^{2}+10z^{2}+2wx+2wy+2wz-6xy+10xz-10yz+6y-16z+23$
において$w,x,y,z$の値を実数の範囲内で個々に変化させていくとき、最小値とそのときの$w,x,y,z$の値を求めよ。

解答形式

一行目に$w$の値を
二行目に$x$の値を
三行目に$y$の値を
四行目に$z$の値を
五行目に最小値を答えてください