数学の問題一覧

問題

半径 $1000$ の円の形をした平坦な地形の島がある。この島を訪れたトレジャーハンターのアリスは、この島のある $1$ 点 $\mathrm{T}$ の真下に宝が埋まっていることは知っているが、$\mathrm{T}$ の位置は知らない。アリスは、自分のいる地点と $\mathrm{T}$ との距離を正確に測る探知機を使って $\mathrm{T}$ にたどり着こうとしている。

はじめ、アリスは島の中心点 $\mathrm{A_0}$ にいる。この後、アリスはターン制で行動を繰り返す。$n=1,2,\ldots$ に対し、$n-1$ ターン目の行動が終わった後のアリスの位置を $\mathrm{A_{n-1}}$ とする。$n$ ターン目でアリスは以下の行動をとる:

$n$ ターン目の行動:
アリスは、今いる地点 $\mathrm{A_{n-1}}$ からちょうど距離 $1$ だけ離れた点 $\mathrm{A_{n}}$ に移動する。その後、探知機を使って線分 $\mathrm{TA}_n$ の長さ $d_n$ を正確に測る。

さて、あるターンで $d_n=0$ となった時、アリスは今いる地点の真下を掘り起こして宝を見つける。$\mathrm{T}$ の位置にかかわらず、アリスがうまく行動すれば $N$ ターン目で確実に宝を見つけることができるような正の整数 $N$ の最小値を求めよ。

解答形式

半角数字のみで1行目に入力せよ。

問題

以下の解答欄を埋めよ。

正の実数に対して定義され、実数値をとる連続関数 $f(x)$ が、任意の正の実数 $x$ に対して $$f(x^2)=f(x)+\frac{\log_2{x}}{x+1}$$
を満たしている。このとき、
$$
f(16)-f(8)=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエオ}}
$$
である。なお、このような $f$ は確かに存在し、上記の値は一意に定まることが証明できる。

解答形式

解答欄ア〜オには、それぞれ0から9までの数字が入る。

文字列「アイウエオ」を半角で1行目に入力せよ。

ただし、それ以上約分できない形で答えること。

問題文タイトル：三条件で定まる点と魂面積比（上級・II）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(10,0)$、点 $C(4,8)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとし、解の一意性のため $y>5$ とする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi$　（ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle BPC = 120^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）

問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題タイトル：三条件で定まる点と魂比率（上級）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(8,0)$、点 $C(2,6)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとし、解の一意性のため $y>0$ とする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi$　（ただし $\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle APC = 60^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）
文
問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

タイトル：二条件で定まる点と魂比率

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(6,0)$、点 $C(0,8)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の2条件を満たすものとし、ただし一意性のため $y>4$ とする：

1. $AP=BP$
2. $\angle APC=90^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）

問題文

$\alpha$を$0<$$\alpha$$<\frac{\pi}{6}$をみたす実数とします。
tan$\alpha$ , tan$2\alpha$ , tan$3\alpha$ がこの順に等比数列をなすような$\alpha$の値は$\frac{\pi}{n}$の形で表されます。$n$を答えてください。

解答形式

半角数字で答えてください

問題文

以下の問いに答えよ．（自然数$n$について，$n!$ は，$1$ から $n$ までの自然数をすべてかけた値を表す．ただし$0!=1$とする．）

1. $r^m=\frac{r^m-r^{m+1}}{1-r}$ という式変形を用いて，$s<t$ を満たす自然数組 $(s,t)$ と， $r<1$ を満たす実数 $r$ について，$$r^s+r^{s+1}+\cdots+r^t=\frac{r^s-r^{t+1}}{1-r}$$ となることを示せ．

2. 自然数組 $(a,i)$ について $a^i < i!$ が成立するなら，$i$ 以上の任意の自然数 $j$ で $$a^j < j!$$ となることを示せ．

3. 自然数組 $(a,i,k,n)$ について，$f(k)=k!-a^k$ ，$g(k)=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{k!}$ とする．
   $i<n$ ，$f(i)> 0$ を満たすとき，$$g(n)< g(i-1)+\frac{1}{a^i-a^{i-1}}-\frac{1}{a-1}\left( \frac{1}{a} \right)^n$$となることを示せ．

4. $n>4$ を満たす自然数 $n$ について，$$g(n)<\frac{67}{24}$$ となることを示せ．

解答形式

私に伝わる程度でよいので、軽めに記述してください。

ヒントの内容

1. 「3.」のヒント
2. 「4.」のヒント

xyz空間において､xy平面上の
線分L:{y=-1, 0<x<1}上の各点から､zx平面上の
直線M: z=x tan(a) [0<a<π/2] に垂線を下ろす｡aが動いて､垂線全体が通
過する領域のうち､
y<0 かつ 0<z の領域の体積を求めよう。

解答形式

答えのみ

問題文

$n$を非負整数とする。
$\sqrt{n^2+7n-14}$が整数となるような$n$の値を全て求めよ。

解答形式

$n$の値を小さい順に一行区切りで入力してください。

問題文

正の実数 $a,b,c,d$ が，
$$
2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2+8\sqrt{abcd}
$$
を満たす時，以下の値の最小値を求めて下さい．ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください．
$$
\dfrac{6a+8b+9c}{d}
$$

問題文

$$
a²+b²=c²,gcd(a,b,c)=1
$$
を満たす自然数a,b,cが存在するとき
任意の自然数tに対して
$$
aₜ²+bₜ²=c²ᵗ,gcd(aₜ,bₜ)=1
$$
を満たす自然数aₜ,bₜが存在することを示せ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。