数学の問題一覧

問題文

$x^4+y^4+z^4+w^4+(x^2+y^2+z^2+w^2)(xy+xz+xw+yz+yw+zw)+4xyzw$
を因数分解せよ。

解答形式

TeXで入力してください。項の順番に関しては辞書式順で入力してください。字数の高い因数を先に書いてください。
例1:
$(x^2+y^2+z^2+w^2)(x+y+z+w)$と答えるには
(x^2+y^2+z^2+w^2)(x+y+z+w)を入力してください。
例2:
$x,y,z,w$から重複せず3文字を選び、かけ合わせた項4つを辞書式順に並べると
$xyz,xyw,xzw,yzw$

問題文

三角形の3つの内角の大きさを$A,B,C$とします。このとき、次の式の最小値を求めてください。
$$
\frac{1-\cos A}{\cos B+\cos C}+\frac{1-\cos B}{\cos C+\cos A}+\frac{1-\cos C}{\cos A+\cos B}
$$

解答形式

最小値は$\frac {[ア]}{[イ]}$となります。$[ア]+[イ]$を解答してください。
ただし、$[ア],[イ]$にはそれぞれ自然数が入り、その最大公約数は$1$とします。

問題文

$x,y$を自然数とする。$x^2+8y$と$y^2+8x$がともに平方数になるような$x,y$の組$(x,y)$をすべて求めよ。

解答形式

例えば、$(x,y)=(1,2),(13,4),(51,16)$と答えたい場合は

12
134
5116

と入力してください。解の組は$x$の値が小さい順に並べてください。$x$の値が同じで$y$の値が異なる場合は$y$の値が小さい方を先に入力してください。

問題文

$f(x)=x^3+7x+6$の値が63の倍数になるような2桁の自然数$x$をすべて求めよ。

解答形式

解1つごとに改行して上から小さい順に半角数字で入力してください。$x=$は書かなくて良いです。

問題文

$x,y$を整数とする。不定方程式$x^7+17y=3$の解$x$をすべて求めよ。

解答形式

答えは、$n$を整数とし、
$x=[ab]n+[cd]$
($a,b,c,d$は一桁の自然数)
という形をしています。$a,b,c,d$の値を求め、$abcd$(4桁の自然数)を入力してください。

問題文

同一平面上に2つの円$C_1$と$C_2$があり、2円の半径はいずれも1で、2円の中心間距離は4である。円$C_1$上に動点$P$をおき、点$P$から円$C_2$に2本の接線$l_1,l_2$を引く。また、$l_1,l_2$と円$C_2$の接点をそれぞれ$Q,R$とする。点$P$が円$C_1$上を動くとき、線分$QR$が通過しうる領域$X$の面積$S$を求めよ。

解答形式

答えは
$\displaystyle S=\frac{\sqrt{[ab]}}{[cde]}\log{\frac{[f]+[g]\sqrt{[hi]}}{[j]−[k]\sqrt{[l]}}}+\frac{π}{[m]}+\frac{[n]}{[op]}(\sqrt{[q]}−[r])$
の形になります。(a~rは一桁の自然数)
センターや共通テストのマークと同じ形式で数字を埋め、「abcdefghijklmnopqr」(18桁の自然数)を半角で入力してください。

問題文

以下の漸化式で与えられる数列${a_n},{b_n}$を考える。ただし、$n$は非負整数であるとし、${a_n}$の初項は$a_0=1$とする。
$\displaystyle a_{n+1}=\sum_{k=0}^na_ka_{n-k} , \displaystyle b_{n+1}=\sum_{k=0}^n (k+1)a_ka_{n-k}$
(1)$b_n$を$a_n$で表わせ。
(2)$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}a_n$を証明せよ。
(3)それぞれの数列の一般項$a_n,b_n$を求めよ。
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$を求めよ。ただし$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n+1)}{n}=0$を証明無しで用いても良い。

解答形式

(4)の答えを半角数字またはTeXで入力してください。
(1)~(3)についてはお手持ちの紙に解答し、解説を確認ください。

問題文

関数
$f(x)=\sqrt[3]{-(x+4)(2x+3)(3x-8)}\ \left(\displaystyle -\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{8}{3}\right)$
の最大値を求めよ。

解答形式

半角数字またはTeXを入力してください。

問題文

数列 $ \{ a_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
a_1=2,\ a_2=3,\ a_{n+1} = \max_{1 \leqq k \leqq n} \{ (n-k+1)a_k \}\ (n \geqq 2)
$$

で定める。$ \{ a_n \} $ の一般項を求め、さらに $\log_{3}{(a_{6062})}$ の値を求めよ。

解答形式

$\log_{3}{(a_{6062})}$ はある自然数となるので、その値を半角数字で答えよ。

問題文

（2020.9.26 11:57追記）
解答形式に不備があったため、訂正致しました。

図の青、緑、赤の線分の長さを$X,Y,Z$、斜線部の面積を$S$とすると、次の式が成り立つ。
$$
\frac{[ア]}{S}=\frac{[イ]}{Z}\left(\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}\right)
$$

なお、図の曲線は半円の弧である。

解答形式

$[ア],[イ]$にはともに自然数が入ります。その和を半角数字で解答してください。
ただし、その和が最小となるように解答してください。
例:$[ア]=4,[イ]=2$なら$6$ではなく(両辺を$2$で割ることにより)$3$と解答。

問題文

$参考図(長さ等は正確でない)$

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

次のようなネットワークを考える．
・情報として「0」または「1」の状態を各ノードは保持することができる．
・各ノードは他のノードに対して一方的に情報を伝達する．
・情報の伝達の際には，ある確率pで正しく状態を伝達するが，1-pの確率で状態が反転して伝達される．ここで，このpは枝によって値が異なることに注意する．
・2つのノードから情報が伝達される場合には，両方の情報を受け取った上で，保持する状態を決定する．このとき，2本のノードから受け取った情報が一致する場合には一致した状態を保持し，異なる情報を受け取った場合には1/2の確率で「0」を保持することにする(1/2の確率で「1」を保持することにする)．
以下の図のネットワークにおいて始点の情報を終点まで伝達することを考え，始点と終点の状態が一致する確率xを求める．
ただし，矢印(枝)はノード間の情報伝達の方向を表し，枝の上に書かれている文字は正しく伝達される確率(上の説明のp)を表すものとする．

① a=2/3,b=3/4の場合のxを計算せよ．
② a=11/111,b=1/2の場合のxを計算せよ．
③ a=2/3,b=3/4の場合を考える．このネットワークはxy平面上の$3\times3$のサイズの格子点において，x軸正方向とy軸正方向に正しく情報が伝達される確率をそれぞれa,b，始点を原点，終点を点(2,2)としたものとみなせる．このとき，$n\times n$のサイズに拡張された(終点を(n,n)とする)ネットワークを考えると，$n\to \infty$とした時に，始点と終点の状態が一致する確率の収束値を求めよ．

解答形式

「分子/分母」(半角英数字)として既約分数を表せ．例)11/92
1行目に①，２行目に②，３行目に③を解答すること．