数学の問題一覧
問題
$(1)$ 集合 $S_n=\{nx\mid x^3\leqq 2x^2+5x-6\}$ に対し，整数 $k\notin\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ は何個あるか．
$(2)$ $3$ 桁の素数は $200$ 個未満か．
解答形式
命題は真なら $1$，偽なら $0$ として，$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．
問題文
$AB=5,AC=9$ なる三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ の中点を $D$ とすると，$B$ における $\Gamma$ の接線と半直線 $DA$ が点 $E$ で交わりました．また，辺 $AC$ 上の点 $F$ が $\angle CDF=\angle BEA$ をみたしています．$DF=\dfrac{10}{3}$ のとき，線分 $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めてください．
解答形式
半角数字で解答してください。
問題
$(1)$ $4$ つの実数 $(10\pm\sqrt 2\pm 4\sqrt 3)^3+1$ の和と等しい整数の最大素因数を求めよ．
$(2)$ 方程式 $(2x^2-x)(2x^2-7x+6)=7$ の実数解 $x$ に対する $x^5-\dfrac{1}{x^5}$ の値を求めよ．
解答形式
$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．
問題文
$a\lt c$ なる実数 $a, b, c$ が
$$\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}=\dfrac{(b+c)(c-a)}{1+c^2}$$
をみたすとき，$(8a+13b+21c)^2$ の取りうる最小値を解答してください.
解答形式
半角数字で解答してください.
問題文
$2000$ 以下の非負整数 $a$ に対し，数列 $c_{n}$ が以下をみたします.
$$c_{1}=a, c_{2}=2000-a, c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$$
このとき，$c_{2^{4333}}$ が $47^2$ の倍数となるような $a$ としてありうる値の総和を解答してください.
解答形式
半角数字で解答してください.
問題文
$p$を$0$以上$1$以下の実数とします．$A$と$B$の二人は，円形の的を用いて次のようなダーツ遊びをします．
- $A,B,A,B,\dots$の順に，的に向かって交互に矢を投げる．
- $A$は直前に$B$が投げた矢よりも中心に近い位置に矢が刺されば成功となる．ただし$1$回目は必ず成功とみなす．
- $B$は直前に$A$が投げた矢よりも中心から遠い位置に矢が刺されば成功となる．
- $n$回目に矢を投げたプレイヤーは，成功すると$p^n$点を得る．成功しなかった場合，その時点でゲームを終了する．
矢の刺さる位置が的の中で一様ランダムに決まると仮定するとき，ゲームが終了するまでに$A$が得られる得点の期待値を$f(p)$とし，$B$が得られる得点の期待値を$g(p)$とします．$f(p)=\dfrac{20}{21}$であるとき，$g(p)$の値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{b}{a}$と表せるので，$a+b$を解答してください．
解答形式
半角数字で入力してください．
問題文
数列 $\{a_n \}$ $(n=1,2,...)$ が漸化式:
$$
a_1=2, \ \displaystyle a_{n+1}=\frac{5a_n+3\sqrt{a_n^2-4\ }}{4}\ \ \ (n=1,2,\ldots)
$$
を満たすとき、$\displaystyle a_7=\frac{\fbox{アイウエ}}{\fbox{オカ}}$ である。
解答形式
ア〜カには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオカ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。
問題文
$2n\times 2n$のマス目に、以下の条件を満たすように正整数を書き込みます．
- 周上にないマスに$k$が書き込まれているとき、それと隣接するマスであって$k-1$以下の数が書き込まれているものが存在する．
このとき書き込まれた数の合計としてあり得る最小の値を$f(n)$とします．$f(111111)$を$5555$で割った余りを求めてください．
解答形式
半角数字で入力してください．
問題文
鋭角三角形 $ABC$ に対し，重心と垂心をそれぞれ $G,H$ とし，直線 $GH$ と辺 $AB,AC$ との交点をそれぞれ $D,E$ とし，直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $F$ としたところ，$DH:HG=4:3,BF:FC=3:7$ となりました．
${AD}^2:{AE}^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので，$a+b$ の値を求めてください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
正の実数 $a,b,c,d$ が $\Bigg\{\begin{aligned}
a+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{9}+\dfrac{d}{16}=25 \\
\dfrac{49}{a}+\dfrac{64}{b}+\dfrac{81}{c}+\dfrac{100}{d}=36
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$d$ の最小値は最大公約数が $1$ の正の整数 $p,q,r$ を用いて $\dfrac{p-\sqrt{q}}{r}$ と表されるので，$p+q+r$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
三角形 $ABC$ において，$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足を $D,E,F$ とし，三角形 $ABC$ の垂心を $H$ としたところ，$DE=9,DF=8,DH=7$ となりました．
このとき，$AH$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．