数学の問題一覧

問題文

$
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n \frac{3k^2+17k+7}{k^4+2k^3+k^2}=\int_{1}^{n+1}f(x) \space dx
\end{eqnarray}
$
$
を満たす有理式f(x)を1つを求めてください。
$

解答形式

$
半角で入力してください。
$

問題文

次の文章の$\fbox{1},\dotsc,\fbox{6}$に当てはまる数を求めよ。

$$
a_{n} = \int_{1}^{e^{0.1}}(\log{x})^{n}dx \qquad (n=0,1,2,\dotsc)
$$とする。部分積分法を用いることで，漸化式
$$
a_{n} = (\fbox{1})^{n}\cdot e^{\fbox{2}} - na_{n-1} \qquad (n\geq1)
$$を得る。$a_{3}$は，有理数$\fbox{3},\fbox{4}$を用いて
$$
a_{3} = \fbox{3}e^{\fbox{2}}+\fbox{4}
$$と表せる。$1\leq x\leq e^{0.1}$のとき$0\leq(\log{x})^{n}\leq0.1^{n}$より$0\leq a_{n}\leq(e^{0.1}-1)\cdot0.1^{n}$である。$n=3$に対してこの不等式を用いることにより$e^{-0.1}$を小数点第4位まで求めることができる。$e^{-0.1}$の小数点第5位以下を切り捨てた小数点第4位までの値は$\fbox{5}$である。

また，$\displaystyle b_{n}=\frac{(-1)^{n}e^{-0.1}}{n!}a_{n}$とすることで$a_{n},b_{n}$の一般項は容易に求められる。
$$
0 \leq |b_{n}| = \frac{e^{-0.1}a_{n}}{n!} < \frac{1-e^{-0.1}}{10^{n}\cdot n!}
$$より，はさみうちの原理から$\displaystyle\lim_{n\to\infty}|b_{n}| = 0$，つまり
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-0.1)^{n}}{n!} = e^{\fbox{6}}
$$が求められる。

解答形式

$\mathrm{i}=1,\dotsc,6$に対し，$\fbox{i}$に当てはまる数を$\mathrm{i}$行目に半角で答えてください。例えば，$\fbox{1},\dotsc,\fbox{6}$にそれぞれ$1.2,3.45,-6,7.89,1.2356,-2.3$が当てはまるときは

1.2
3.45
-6
7.89
1.2356
-2.3

と解答してください。

問題文

数列{$a_{n}$}が, $a_{1}$=$1$,$a_{n+1}=\frac{na_{n}}{(n+1)(1+a_{n})}$ をみたす。
$$
\lim_{n\to \infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)^n
$$
を求めてください。

解答形式

半角英数字で答えてください

問題文

(1) 自然数 $n$ について、$\cos\theta = x$ とおくと $\cos n\theta$ が $x$ の多項式で表せ、またその係数はすべて整数となることを示せ。

(2) $\cos 36^\circ,\ \cos 72^\circ$ を求めよ。

(3) 自然数 $n$ について、$n$ が 5 の倍数でないとき、$\cos(n^\circ)$ は無理数であることを示せ。

(4) $n$ 次の多項式

$$
A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + \cdots + A_1 x + A_0 = 0
$$

について、これが有理数解をもつならば、その解は

$$
\frac{\text{定数項 } A_0 \text{ の約数}}{\text{最高次の係数 } A_n \text{ の約数}}
$$

の形で表されることを示せ。

(5) $0<n<90$ を満たす自然数 $n$ について、$\cos(n^\circ)$ が有理数となる $n$ はいくつ存在するか。

三角形 ABC の頂点は A(0,0), B(6,0), C(4,6) である。

AC の中点を通り、BC に垂直な直線の方程式を求めよ。

この直線と AB の交点を求めよ。

この交点から頂点 C までの距離を求めよ。

問題文

$a,b,c$を正の実数とし、$k$を実数とします。$x$の方程式$x^3-ax^2+bx-c=0$が$3$つの実数解$α,β,γ$を持ち、次が成り立ちます。
・$|α+β|=a+2$
・$|αβ|=b-k$

$γ$を$k$を用いて表してください。

解答形式

解答はある正の整数$p,q,r$を用いて
$γ=-p+\sqrt{q-rk}$
と表せますから、$p+q+r$の値を解答してください。

珍しく良問

線対称かつ点対称な図形Xのうち、
対称軸上に対称点がないようなものは
存在しないことを示してください。

解答形式

日本語で答えてください。大意が伝われば良いです(最低限伝わるようお願いします)。

問題

実数$x，y$が
$$
\begin{cases}
x^2+y^2=1\\
2x^3+2y^3=1
\end{cases}
$$
を満たしているとき，$x+y$ のとりうる値をすべて求めよ．

解答形式

解答に$sinθ，cosθ$を含む場合は，$cosθ(0<θ<π)$に統一し，記入例にしたがって全て$半角$で解答してください．なお，度数法で解答すると不正解となるので，弧度法を用いてください．
小数などを用いた近似値での解答は不正解となります．
複数の解答がある場合は小さい値から順に上から改行してください．

記入例
3cos(5π/6)
3cos(π/3)

$$問　題$$
$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yに対して恒等式$
$$f(x ^2+y)＝f(kx ^2+2y)−f(3x ^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$

問題文

以下の連立方程式を満たすような実数の組$(a,b,c,d)$の個数を求めよ。
$$
\begin{cases} ab^2c^3d^4=1 \\ a^4bc^2d^3=1\\a^3b^4cd^2=1\\a^2b^3c^4d=1\end{cases}
$$

解答形式

半角数字で個数を入力してください。

問題文

太郎君は次のルールで行動する：
前日に花子さんで抜いた場合、次の日に抜く確率は$\frac{1}{5}$
前日に花子さんで抜かなかった場合、次の日に抜く確率は$\frac{2}{3}$
今日花子さんで抜かなかったとき$n$日後に抜く確率を$P_n$とする。
$n \to \infty$のときの$P_n$を、小数点5位を四捨五入して、小数点4位まで求めよ。

解答形式

答えのみ記入

問題文

$\lim\limits_{n\to\infty} n\sin\frac{2π}{n} = mπ$ である。
$m$の値を求めよ。

解答形式

$m$は2つの実数$a,b$を使って $\frac{a}{b}$と表せる。
$m$を分母が有理化された既約分数の形にした時の$a+b$を解答すること。