数学の問題一覧

問題

$2$ 以上の自然数 $n$ に対して、以下の操作を繰り返します。

【操作】
* $n$ が偶数のとき：$\dfrac{n}{2}$ を新たな $n$ とする。
* $n$ が奇数のとき：$n = 2m - 1$ となる自然数 $m$（すなわち $m = \dfrac{n+1}{2}$）を新たな $n$ とする。

この操作を繰り返し、値が初めて $1$ になるまでの操作回数を $N_n$ と定義します。

【例】
$n = 5$ のとき、$5 \to 3 \to 2 \to 1$ と変化するため、$N_5 = 3$ です。

このとき、$N_{2026}$ の値を求めてください。

答え方としては値を入力するだけでいいです。解いている中答えはわかるかもですが、nとガウス記号を用いて一般化できます。余裕があればぜひ。

問題文

正十二面体について次の(1)〜(3)を答えなさい

(1)12色を使って各面をそれぞれ塗り分けるとき、何通りあるか。ただし全ての色を使うこと。

(2)3色を使って各面をそれぞれ塗り分けるとき、何通りあるか。ただしどの色も必ず一回は使い、同じ色は隣接しても良いものとする。

(3)1つの頂点をAとする。頂点Aから出発し、1秒ごとに今いる頂点から辺でつながっている隣の頂点へ、それぞれ 1/3の等確率で移動する点Pを考える。点Pが出発してからちょうど10秒後 に、最初にいた頂点Pの位置(頂点A)に戻っている確率を求めよ。

解答形式

1行目に(1)の答えのみを答えてください。
(2)は2行目に答えてください。
(3)は3行目に答えてください。
x/yのように分数の場合、x+yの値を表記してください。

例
↓
1000通り
333通り
33333

問題文

$\ell,m,n を0以上の整数とする。$
$動点Pは、数直線上の0をスタートとし、以下の操作をn回行った後の座標をX_{n}とする。$

$1個のサイコロを1回振って1か2の目が出たら正の方向に\frac{1}{2^{m}}だけ移動(m回目の移動)し、$
$3か4の目が出たら負の方向に\frac{1}{2^{m}}だけ移動(m回目の移動)し、$
$5か6の目が出たら移動しないとする。$
$ただしmは、移動した回数を表し、初期値は0であり、$
$1〜4の目が出て移動するのが1回目なら1、m回目ならmであり、$
$5か6の目が出て移動しないときは増えずに、それまでの移動回数を保持する。$
$ゆえにmはサイコロを振った回数(操作回数)と同じになるとは限らない。( m\leq n)$

$X_{n}<\frac{1}{2^{\ell}} となる確率P_{\ell}を\ellとnを用いて表せ。必要ならばmを使ってもよい。 $

難易度

難易度は難関大学の入試問題レベルだと思います。
苦労して作ったので良問であってくれれば嬉しいです。

問

$0\leq\theta\leq\pi$を満たすとします。
$\alpha=\sin\theta$
$\beta=\sqrt{3}\cos\theta$
$\phi=\pi(\alpha+\beta)$
$\gamma=\sin(\frac{\phi}{4})$
$\delta=\cos(\frac{\phi}{4})$
としたとき、関数
$$
f(\theta)=\frac{1}{2}(\gamma-\delta)^{2}+(\gamma-\delta)
$$
の最大値、最小値とそのときの$\theta$の値をそれぞれ求めなさい。

注

最大値:その時の$\theta$
最小値:その時の$\theta$
のように解答してください。ただし$\theta$は弧度法での表記にすること。
$\pi$を含む分数は分子に$\pi$を、負の数は分子に"-"を持たせてください。
Texでの入力形式に合わせて入力してください。"$"マークは不要です。

問題

二次関数$P=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}+2x_{2}x_{3}+2x_{3}^{2}+\cdots +2x_{n}^{2}+2x_{n}+3$
があり、$x_{1}$から$x_{n}$までの値を実数の範囲内で個々に変化させていくとき、最小値を求めよ。

問題

$P=w^{2}+5x^{2}+6y^{2}+10z^{2}+2wx+2wy+2wz-6xy+10xz-10yz+6y-16z+23$
において$w,x,y,z$の値を実数の範囲内で個々に変化させていくとき、最小値とそのときの$w,x,y,z$の値を求めよ。

解答形式

一行目に$w$の値を
二行目に$x$の値を
三行目に$y$の値を
四行目に$z$の値を
五行目に最小値を答えてください

問題

$点O$を中心とする$円O$に内接している$四角形ABCD$がある。$AB=91,BC=300,CD=195,AD=280$であるとき、次の問いに答えよ。
(1)$AC$の長さを$x$,$BD$の長さを$y$としたとき、$x+y$の値を求めよ。
(2)$△ABCの内接円の半径:△ADCの内接円の半径:△BADの内接円の半径:△BCDの内接円の半径:円Oの半径=a:b:c:d$である。このときの$a+b+c+d$の値を求めよ。
(3)$\angle ABC=x°,\angle BAD=y°$としたとき、$\frac {7tan.x°}{17tan.y°}=\frac{a}{b}$となる。このときの$b-a$の値を求めよ。

問題文

任意の有理数は和が0となる4つの有理数の積で表せることを示せ。

解答形式

文章で答えて

問題文

p^q+q^p+pq+p+qが素数となるような素数p,qの組を全て求めよ。

解答形式

例
(p,q)=(2,3),(5,7)
または
存在しない
で答えて

問題

$図形ABCD$があり、$\angle DAB=\angle DCB=15°,\angle ABC=90°,$$AB=2\sqrt{3},CB=6$のとき$図形ABCD$の面積は$\sqrt{a}+b$となる。このときの$a+b$の値を求めよ。ただし、$AD\leq AB$とする。

問題

$x^{6}-9528x^{5}+3227181x^{4}-381776240x^{3}+17668814019x^{2}-248915792472x+999999468559$の解を全て答えよ。

解答形式

一行目に最小解を
二行目に次に小さな解を
といった感じで答えてください。
(因数分解サイトは使わないでね～！)
数が大きいから電卓は使っていいけど...

問題

1辺が$2$の$正方形ABCD$と$正三角形ADE$($辺AD$を共有し、$\angle EAB=150°$)がある。$EB$上に$点F$をとり、$点F$と、$点C$を結んだ。
そして、$\angle GFC=\angle HFC=120°$となる$点G$、$点H$をそれぞれ$辺EA,ED$上にとった。
このとき次の問いに答えよ。
ただし、$GF+HF+CF=2+\frac{4\sqrt{3}}{3}$とする。
(1)$\angle BFC=a°$とするとき、$a$の値を求めよ。

(2)$BE$の長さを$\sqrt{x}+\sqrt{y}$とするとき、$x+y$の値を求めよ。

(3)$点G,H,F$を通る円の面積は、次のようになる。
$$\frac{a}{b}\pi$$
このときの$a+b$の値を求めよ。

解答形式

行ごとのジャッチのため、一行目に(1)の答えを、二行目に(2)の答えを、三行目に(3)の答えを解答してください。