数学の問題一覧

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KOTAKE杯没問300G

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
9時間前

0

問題文

$AB=AC$ の鋭角二等辺三角形がありその垂心を $H$ とします.線分 $BC$ 上に点 $D$ をとり,点 $P,Q$ を $APQD$ がこの順に一直線上に並ぶようにとると $4$ 点$ACHP$,$4$ 点 $ABHQ$ はそれぞれ共円であり,
$$BD=15,\quad CD=25,\quad PQ=8$$
が成立しました.このとき, $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

第2問

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
9時間前

0

問題文

正の整数 $n$に対して、数列${a_n}$を
$a_n=(2+√5)^n$
と定める。このとき、
$a_{2025}$の十進数表記での1の位の数字は何か。

解答形式

半角

第4問

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
9時間前

0

問題文

2つの実数 $\alpha$ と $\beta$ を次のように定義する。

  • $\alpha = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$
  • $\beta = \sqrt{17 + 12\sqrt{2}}$

この $\alpha, \beta$ を用いて、自然数 $n$ に対する数列 ${T_n}$ を以下で定める。

$$T_n = \alpha^{2^n} + \beta^{2^n}$$

このとき、$T_3$ の値は、ある正の整数 $A$ を用いて、

$$T_3= A + \sqrt{A^2-1}$$

と一意に表現することができる。

この整数 $A$ の値を求めよ。

解答形式

半角

第3問

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
9時間前

0

問題文

$x \ge -1$ の範囲で定義される関数 $f(x)$ を、以下の無限多重根号によって定める。
$$f(x) = \sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+\cdots}}}}$$
$f(x)$ の逆関数を $g(x) = f^{-1}(x)$ とする。このとき、以下の定積分の値を求めよ。
$$\int_1^4 g(x) \, dx$$

解答形式

半角

第1問

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
9時間前

0

問題文

$x>0$において、次の関数を定義する。
$g(x) = √(x² + cos²x + sin⁴x + 2(xcosx + xsin²x + cosxsin²x))$
このとき、以下の極限値を求めよ。
$lim_{x→0^+} \frac{g(x) - (x + \cos x)}{x^2}$

解答形式

半角

複雑な極限

yogen 採点者ジャッジ 難易度:
19時間前

0

不等式

sdzzz 自動ジャッジ 難易度:
3日前

4

問題文

正の実数 $a,b,c,d$ が,
$$
2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2+8\sqrt{abcd}
$$
を満たす時,以下の値の最小値を求めて下さい.ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください.
$$
\dfrac{6a+8b+9c}{d}
$$

原始ピタゴラ数

O.K 採点者ジャッジ 難易度:
3日前

0

問題文

$$
a²+b²=c²,gcd(a,b,c)=1
$$
を満たす自然数a,b,cが存在するとき
任意の自然数tに対して
$$
aₜ²+bₜ²=c²ᵗ,gcd(aₜ,bₜ)=1
$$
を満たす自然数aₜ,bₜが存在することを示せ

解答形式

例)ひらがなで入力してください。

指数・対数といろいろ

hi-yo 自動ジャッジ 難易度:
6日前

0

$$
\sqrt{log_\frac{1}{2}(\frac{1}{1024})^n}において、奇数の自然数はいくつあるか。
$$

指数・対数といろいろ

hi-yo 自動ジャッジ 難易度:
7日前

2

$$
\sqrt{log_\frac{1}{3}(\frac{1}{273})}の整数部分?
$$

指数・対数といろいろ

hi-yo 自動ジャッジ 難易度:
7日前

0

$$
log_{2}{8}^{a-2}=(m^{2}-1)a+(n-1)
$$

指数・対数といろいろ

hi-yo 自動ジャッジ 難易度:
7日前

1

$$
\sqrt{log_\frac{1}{2}(\frac{1}{256})}の小数部分?
$$