数学の問題一覧

問題

佐藤君は、$N$通りの料理の中から、$M$個を注文します。ただし、同じ料理は$X$個まで注文できます。このとき、佐藤君の注文の組み合わせは何通りありますか。
4つのテストケースが与えられるので、それぞれについて求めてください。

テストケース（上から順に求めてください）

$N=10,M=2,X=2$
$N=30,M=3,X=1$
$N=15,M=3,X=2$
$N=100,M=5,X=2$

答え方

上から順に4行で、単位無しで整数で答えてください。

問題

佐藤君は、注文された$X\text{g}$の肉を$N$人で分け合います。$i\ {1\leq i \leq N}$番目の人が求めている肉の量は$W_i \ \text{g}$です。その人が$W_i \ \text{g}$以上貰った場合、その人の満足度は$100$となり、それより少ない場合、貰えた肉の量を$P_i \ \text{g}$としたとき、その人の満足度は$100\times \frac{P_i}{W_i}$ を切り捨てて整数にした値となります。
また、肉を貰えない人が居ても良く、肉が余っても構いません。
$N$人の満足度の合計が最大となるとき、その値を求めてください。
6個のテストケースが与えられるので、それぞれについて求めてください。

テストケース（上から順に求めてください）

$X=600,N=5,W=[100,120,140,160,160]$
$X=2600,N=8,W=[250,300,300,300,250,300,250,250]$
$X=999,N=7,W=[143,143,143,143,144,144,143]$
$X=100000,N=20,W=[10000,10000,5000,5000,10000,10000,12000,12000,11000,11000,9000,8000,6000,8000,13000,11000,7000,4000,2000,10]$
$X=60,N=2,W=[2000,1000]$
$X=10000,N=8,W=[1,1,1,1,1,1,1,1]$

答え方

上から順に6行で、単位無しで整数で答えてください。

問題

佐藤君は、$N$人に焼肉を奢ります。1人あたりの料金は税抜で$X$円であり、税率は$Y$%です。このとき、佐藤君が支払う金額を求めてください。
5つのテストケースが与えられるので、それぞれについて求めてください。

テストケース（上から順に求めてください）

N=3,X=1000,Y=10
N=5,X=3200,Y=5
N=30,X=3000,Y=100
N=2500,X=60000,Y=8
N=2,X=10000,Y=0

答え方

上から順に5行で、単位無しで整数で答えてください。

問題

佐藤君は、無限に肉が食べたいです。$1$回目は、$N\text{g}$の肉を注文し、全て食べ切りました。$2$回目は、$M\text{g}$の肉に減らし、全て食べ切りました。ただし、$M<N$とします。注文する事に、注文する量が同じ比率で減っていきます。このような行為を$∞$回行います。各注文において、$1\text{g}$あたり$X$円の料金がかかり、注文過多などによる追加料金はありません。
現在、佐藤君は、$Y$円の所持金があります。完全に食べ尽くしたとき、
・お金が余る場合は、「__円余る」
・お金がちょうど無くなる場合は、「ちょうど」
・お金が足りない場合は、「__円足りない」
と答えてください。
8個のテストケースが与えられるので、それぞれについて求めてください。

テストケース（上から順に求めてください）

$N=100,M=80,X=10,Y=5000$
$N=200,M=180,X=10,Y=16000$
$N=80,M=50,X=100,Y=99999$
$N=100,M=99,X=3,Y=2525$
$N=750,M=600,X=12,Y=48600$
$N=999,M=111,X=20,Y=24679$
$N=10000000,M=9999999,X=1000000,Y=1\text{e}+20$
$N=3,M=0,X=10,Y=22222$

答え方

上から順に8行で出力してください。数値部分は四捨五入して整数にし、結果によって答え方を分岐してください。

問題文

$n$ を正の整数，$\phi(n)$ を $n$ 以下で $n$ と互いに素な正の整数の個数を表すものとする．
$\phi(n) \le N$ をみたす $n$ の最大値が $30$ の倍数でないような $N$ の中で，最大のものを求めよ．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

円に内接する四角形$ABCD$において, $∠BAD$の二等分線と線分$BC$との交点を$E$とし, $E$を通り$CD$に平行な直線と線分$AD$との交点をFとすると,
$$
AE=7　CE=5　BF=6
$$が成立した. このとき, $FD$の長さは互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表されるので$a+b$を解答せよ.

問題文

$a,b,c,d$ を非負整数とする．
$88a+90b+91c+92d$ の形で表すことのできない最大の正の整数を求めよ．

解答形式

整数で解答してください．

鋭角三角形 $ABC$ （$AB \neq AC$） の外接円を $\Gamma$ とする。
点 $A$ における $\Gamma$ の接線と、直線 $BC$ の交点を $P$ とし、$P$ から $\Gamma$ に引いた点 $A$ とは異なる接線の接点を $D$ とする。
線分 $AD$ の中点を $M$ とする。
直線 $BM$ と $\Gamma$ の交点のうち $B$ と異なるものを $E$ とし、直線 $CM$ と $\Gamma$ の交点のうち $C$ と異なるものを $F$ とする。
このとき、$3$ 点 $P, E, F$ は同一直線上にあることを証明せよ。

問題文

$a_1=m$,$a_{n+1}=a_n^2$とする。
$a_k=2025$となる正整数$k$が存在するような$m$の値を$m_1,m_2,m_3,…$とする。
$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(\sum _{k=1}^{n}\quad \frac{1}{m_k}\right)$は収束するか。

解答形式

「はい」または「いいえ」と入力してください。

問題文

$3$ つの区別できる立方体があります。躑躅色$,$ 熨斗目花色$,$ 鶸色 の絵の具を用意し$,$ $18$ 面のうち無作為に選んだ $6$ 面を躑躅色に$,$ 別の $6$ 面を熨斗目花色に$,$ 残りの $6$ 面を鶸色に塗ります。ただし$,$ どの塗り方も等確率で起こるものとします。

色が塗られた後の $3$ つの立方体を同時に投げたとき$,$ 出た $3$ つの面の色を記録した後$,$ $3$ つの立方体をそれぞれ $1$ 回目に出た面とは異なる面が無作為に上面となるように$,$ 同時にもう一度投げるとき$,$ $1$ 回目に出た $3$ つの面がすべて異なる色であり$,$ かつ $2$ 回目に出た $3$ つの面もすべて異なる色となる確率を求めてください。

解答形式

答えは分数になるので(既約分数)$,$ 分母と分子の和を半角数字で入力してください。

鋭角三角形 $ABC$ において、各辺の長さは $AB = 15, BC = 14, CA = 13$ である。
点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし、線分 $AD$ を直径とする円をかく。
直線 $AB, AC$ と円の $A$ と異なる交点をそれぞれ $E, F$ とし、直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とする。
点 $P$ から円に引いた 2 本の接線の接点を $T_1, T_2$ とするとき、線分 $T_1T_2$ の長さを求めよ。

解答形式

答えは$$\frac{a}{b}$$と表せるので${a+b}$を答えよ。

円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB = BC$ を満たしている。
対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とすると、$BE = 4, ED = 5$ であった。
四角形 $ABCD$ の周の長さが $26$ であるとき、線分 $AD$ と $CD$ の長さのうち、大きい方の値を求めよ。