数学の問題一覧

$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, 内接円を$\omega$とし, $\omega$と辺$BC,CA,AB$の接点をそれぞれ$D,E,F$とします. 辺$BC$上に点$P$を, 線分$FP$が線分$AD$と平行になるようにとり, 円$ADF$と円$AIB$の交点を$K(\ne{A})$とします. ここで, 直線$DK$と直線$EF$の交点を$Q$とすると
$$
BP:FQ=5:2\sqrt6, {\quad}\angle{EFP}=\angle{EKF}
$$
が成り立ちました. 線分$EP$と線分$AD$の交点を$R$とするとき, $\Large{\frac{ER}{EF}}$の値は整数$a,b,c$を用いて$\Large{\frac{b+\sqrt{c}}{a}}$と表せるので, $a+b+c$の値を解答してください.

問題文

$n$を非負整数とし,　関数$f_n(x)$は以下を満たします.
$$
\begin{eqnarray}
f_0(x)=f_n(0)=0\quad\quad\quad\quad\quad\\
f_n(x)=\frac{\sqrt{\tan{x}}+f_{n-1}(x)}{\tan{x}+1}\quad(n\geqq1)
\end{eqnarray}
$$
このとき, 以下の値を解答してください.
$$
\large
\lim_{n\to \infty} {\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}{\frac{\cos{3x}}{\cos{x}}
}f_n(x)}dx
$$

解答形式

※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.
※この問題は自動ジャッジではなく運営が採点するため, 正誤の送信が遅れる可能性があります. ご了承ください.

問題文

$$
\Large\int_{e^{-1}}^e {\frac{x^{x+1}}{x^{x+2}+x^{-{\frac{1}{x}}}}}dx
$$
の値を求めてください.

解答形式

※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.

$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$について重心を$G$, 辺$BC$の中点を$M$, 辺$AB$の中点を$N$とします. 点$D$を円$MNC$上かつ直線$CA$に関して点$B$と反対側になるように取ったところ, 以下が成立しました.
$$CG=DG, AC=MD, AD=9, MB=19$$
このとき, 三角形$ABC$の面積の$2$乗を求めてください。

問題文

$$
\large
\lim_{n\to \infty} {\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{(n+1){\theta}}-\cos{n{\theta}}}{\cos{\theta}-1}
}}d\theta
$$
の値を求めてください.
※但し$\theta=0$のときの被積分関数の値を$0$とします.

解答形式

※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.

問題

二次関数$P=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}+2x_{2}x_{3}+2x_{3}^{2}+\cdots +2x_{n}^{2}+2x_{n}+3$
があり、$x_{1}$から$x_{n}$までの値を実数の範囲内で個々に変化させていくとき、最小値を求めよ。

問題

$P=w^{2}+5x^{2}+6y^{2}+10z^{2}+2wx+2wy+2wz-6xy+10xz-10yz+6y-16z+23$
において$w,x,y,z$の値を実数の範囲内で個々に変化させていくとき、最小値とそのときの$w,x,y,z$の値を求めよ。

解答形式

一行目に$w$の値を
二行目に$x$の値を
三行目に$y$の値を
四行目に$z$の値を
五行目に最小値を答えてください

問題

関数$f(x)$を次のように定める。
$$f(x)=\frac{\sqrt{(f(x-1))^{2}+1}-1}{f(x-1)}$$
このとき次の極限を求めよ。
$$3\lim_{x\to \infty}\left(\frac{2^{x+1}(\sqrt{(f(x))^{2}+1}-1)}{f(x)}\right)$$
ただし、$f(1)=\frac{\sqrt{3}}{3}$とする。

解答形式

小数点以下$5$桁まで答えてください

次の連立方程式を満たす数値 ($x,y$) について、($x+y$)の値を全て求めよ。

$$
\begin{cases}
\frac{3}{\frac{x}{6}+\frac{9}{y}}+\frac{12}{\frac{9}{x}+\frac{y}{6}}=5 \\
\frac{6}{\frac{9}{x}+\frac{y}{6}}+\frac{5}{\frac{x}{6}+\frac{9}{y}}=6
\end{cases}
\hspace{50em}
$$

$※$2個以上ある場合は 6,11 みたいに、カンマで区切ってください。

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$ とします．

辺 $AC,AB$ 上に点 $D,E$ ，線分 $DE,BC$ と直線 $AO$ の交点 $F,G$ を取ると，四角形 $BCDE,ADEO$ は円に内接しました．

$DF=6,FE=9,BG=13$ の時， $GC$ の値を求めて下さい．

解答形式

答えは互いに素な正整数を用いて $\dfrac{a}{b}$ と書けるので $a+b$ を解答して下さい．

問題

$点O$を中心とする$円O$に内接している$四角形ABCD$がある。$AB=91,BC=300,CD=195,AD=280$であるとき、次の問いに答えよ。
(1)$AC$の長さを$x$,$BD$の長さを$y$としたとき、$x+y$の値を求めよ。
(2)$△ABCの内接円の半径:△ADCの内接円の半径:△BADの内接円の半径:△BCDの内接円の半径:円Oの半径=a:b:c:d$である。このときの$a+b+c+d$の値を求めよ。
(3)$\angle ABC=x°,\angle BAD=y°$としたとき、$\frac {7tan.x°}{17tan.y°}=\frac{a}{b}$となる。このときの$b-a$の値を求めよ。

問題文

$1$ から $i$ までの自然数が書かれた合計 $i$ 枚のカードが場に置かれています。これについて、あなたは次のようなゲームをします。なお、はじめのスコアは $0$ とし、墓地に捨てられたカードはゲーム中に再び使われることはないものとします。

• まず、場に置かれたカードを $2$ 枚選び、手札にします。
• そのうち、書かれた数字が大きい方を $a$ 、小さい方を $b$ としたとき、$a+b>i$ ならば スコアを $a-b$ だけ加算し、そうでなければ スコアを $a+b$ だけます。
• その後、場に残されたカードのうち、先ほど選んだ $2$ 枚のカードの中央値に最も近いカードを手札にします。なお、中央値に最も近いカードが複数あった場合、好きな方を選んで手札にします。
• その後、手札にある $3$ 枚のカードのうち最も数が小さいものを場に戻し、残りを墓地に捨てます。

これを、$\lfloor{\frac{i-1}{2}}\rfloor$ 回にわたって繰り返します。スコアが最大となるように行動したときのスコアを $S_i$ とします。
たとえば、$i=3$ のとき、次のように行動するとスコアが最大となります。

• $1,2,3$ のカードの中から $1$ と $2$ を選び、手札にします。
• このとき、$a+b=3$ で、$3>3$ は成り立たないので、スコアは $3$ 加算されます。
• その後、中央値 $\frac{1+2}{2}=1.5$ に最も近い数字を手札にするのですが、場には $3$ しか残っていないので、それを手札にします。
• このとき、手札には $1,2,3$ があり、$1$ を場に戻し、残りを墓地に捨てます。
• 手順を $\lfloor{\frac{3-1}{2}}\rfloor=1$ 回行ったのでゲームは終了です。

このとき、スコアを $3$ より大きくする方法はないので、$S_3=3$ となります。

同様に、$S_i$ を $4\leq i\leq 25$ について求めてください。

解答形式

$1$ 行で入力してください。
空白区切り・半角で、以下の形で記述してください。
$S_{4}$ $S_{5}$ $\cdots$ $S_{25}$