問題一覧 | ポロロッカ

700A

0

公開日時: 2025年12月30日5:37 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 大学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

関数 $f:\mathbb{Z}^2\rightarrow \mathbb{Z}$ は以下を満たします.

$f(0,0)=1$
$n,m$ いずれかが $0$ 未満であるとき, $f(n,m)=0$.
$(n,m)\neq(0,0)$ を満たす非負整数の組 $(n,m)$ に対して, 以下が成立.

$$
\begin{aligned}
&f(n,m)\\\\
&=f(n-1,m)+2f(n,m-1)\\\\
&+f(n-2,m)-f(n-1,m-1)-f(n,m-2)
\end{aligned}
$$
このとき$f(10000,10000)$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.

整数問題　等式

3

reito

公開日時: 2025年12月29日19:20 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

問題文

x,y,zを自然数とする。
xy+xz = x+y+z となるような(x,y,z)の組はいくつあるか。

解答形式

数字のみを記入すること。例：3組ある場合は 3

四面体

0

mathken

公開日時: 2025年12月29日5:33 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

問題文

四面体 $ABCD$ の各辺 $AB , AC , AD , CD , DB , BC$ の中点をそれぞれ $P , Q , R , S , T , U$ とする。四角形 $PQST , QRTU$ がともに長方形となるとき、
$AB^2+CD^2=AC^2+DB^2=AD^2+BC^2$
となることを示せ。

解答形式

簡単な証明をお書きください。

素因数分解

3

mathken

公開日時: 2025年12月28日8:04 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

問題文

$n$ を自然数とする。 $n^5+n+1$ が互いに異なる $4$ つの素数の積で表されるような $n$ のうち最小のものを答えよ。

魔法陣

1

mathken

公開日時: 2025年12月28日6:15 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

問題文

実数 $a,b,c$ がこの順に等差数列となっている。 $3\times3$ のマス一つずつに $a,b,c$ を自由に配置したとき、縦横斜め一列に並ぶ $3$ 数の和が一致する列の組が必ず存在するか。

解答形式

必ず存在するならば $1$ 、必ずしも存在しないならば $0$ と答えてください。

級数

0

mathken

公開日時: 2025年12月27日20:43 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

問題文

各桁が奇数のみで表される自然数の逆数からなる級数
$\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19}+\frac{1}{31}+\cdots$
の和を $S$ とすると、
$\sum\limits_{n=1}^{10} \frac{1}{n} < S < 2 \sum\limits_{n=1}^{5} \frac{1}{2n-1}$
となることを示せ。

余りを求める

3

mathken

公開日時: 2025年12月27日17:07 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

問題文

$86^{48}-64$ を $864$ で割った余りを求めよ。

互いに接する3円と直線の問題

0

mathken

公開日時: 2025年12月27日16:36 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

問題文

$3$ つの円が互いに外接し、かつ各円が直線 $l$ に接している。ある円と直線 $l$ との接点を $O$ とし、他の $2$ 円との接点をそれぞれ $A$ $,$ $B$ とする。 $O$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。線分 $AB$ の長さを $d$ として、線分 $OH$ の長さを $d$ を用いて表せ。