数学の問題一覧
公開日時: 2026年8月4日15:19 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
円
$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において辺 $AB$ を直径とする円を $\omega_{1},$ 点 $B$ で直線 $AB$ に接し，点 $C$ を通る円を $\omega_{2}$ とします．また，$\omega_{1}$ と $\omega_{2}$ の交点のうち $B$ でないほうを $D$ とし，直線 $AD$ と直線 $BC$ の交点を $E$ とします．この時，次のことが成り立ちました．
$$BD=6,DC=4,CB=8$$
$\omega_{1},\omega_{2},$ 三角形 $CDE$ の外接円の中心をそれぞれ $O_{1},O_{2},O_{3}$ とするとき，三角形 $O_{1}O_{2}O_{3}$ の面積は互いに素な正の整数 $a,b$ と平方因子を持たない正の整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}}{a}$ と表せるので， $a+b+c$ の値を回答してください．
公開日時: 2026年8月3日0:07 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
競技数学 記述幾何 500G
問題文
問 凸四角形$ABCD$が$AB+CD=BC+DA$を満たしている。次の4つの円の中心を$W,X,Y,Z$とする。
・線分$AB$と、線分$DA,CB$の$A,B$方向での延長線に接する円。
・線分$BC$と、線分$AB,DC$の$B,C$方向での延長線に接する円。
・線分$CD$と、線分$BC,AD$の$C,D$方向での延長線に接する円。
・線分$DA$と、線分$BA,CD$の$D,A$方向での延長線に接する円。
$WX=YZ$になるための四角形$ABCD$の必要十分条件を$A,B,C,D$以外の点を用いずに示せ。
解答形式
必要十分条件を求め、証明を記述してください。
公開日時: 2026年7月30日22:38 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$\quad$正整数 $m$ に対し, $2^k | m$ を満たす最大の非負整数 $k$ を $v_2(m)$ とする.
$\quad$次の条件を全て満たす正整数の組
$$(a_1,a_2,\dots,a_9)$$
の総数を求めよ.
- $a_1=1,a_{9}=144$.
- $2\leq i \leq9$ を満たすすべての整数 $i$ について,
$$a_i=2a_{i-1}\quad または\quad a_i=a_{i-1}+2^{v_2(a_{i-1})+1}$$
が成り立つ.
公開日時: 2026年7月30日21:47 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
問題文
$(1)\ \tan\theta\sin2\theta\text{を}\cos2\theta\text{の式で表せ。}$
$(2)\ \tan\left(\frac{\pi}{24}\right)\text{を求めよ。}$
$(3)\ \pi<3.144\text{であることを証明せよ。}$
$\text{必要であれば，}\sqrt{2}<1.414,$
$\ \sqrt{3}>1.732,\ \sqrt{6}<2.449
\text{を使ってよい。}$
解答形式
記述式。明らかな飛躍や論理の破綻はダメヨ。