数学の問題一覧

問題文

$1$ から $9$ までの異なる $9$ つの数字を$,$ $A$ から $I$ までの $9$ つのアルファベットに $1$ つずつ割り当てます。以下の $2$ つのかけ算の等式が同時に成り立つような数字の割り当て方を全て求めてください。
$※$ $A$, $G$ は $1$ 桁の数$,$ $BC, HI$ は $2$ 桁の数$,$ $DEF$ は $3$ 桁の数を表します。また$,$ $A < G$ とします。

$$A \times BC = DEF$$$$G \times HI = DEF$$

解答形式

$DEF$ としてありえるものの総和を半角で数字のみ入力してください。

問題文

ある国で流通している通貨はUです。
Uと日本円の価値は一日ごとに変動します。（一日の間では変化しません）
A君はお小遣いを増やそうとして次の方法を考えました。
方法
・１Ail＞150円ならば持っているUの半分を円に両替する。
・1Ail＜150円ならば持っている円の半分をUに両替する。
・1Ail＝150円ならばその一日は何もしない（両替しない）
Aくんの最初に持っていたお金が12000円でUは持っていなかったとき次の問いに答えなさい。

(1)取引を始めて1日目に方法に照らし合わせてトレードを行ったところ50U手に入りました。この日の1Uは何円ですか？
(2)3日間取引をしたところ最初の2日間は価値の変動がなく、最後の一日の1Uの価値は160円でした。このとき持っているUを全て円に変えたところお金が17400円になったとき最初の2日間での1Uは何円か答えなさい。
(3)30日間トレードをしたところ1Uの価値が150円だった日が４日あり、今持っている総資産に占めるUと円の資本価値の比は一日目のレートで換算すると15:1であった。1Uの価値が150円未満だった日は何日あるか答えよ。ただし1日目のトレードは1U＞150円であったとします。

解答形式

半角カッコの間に半角数字を上から入れて回答してください。また=は半角にしてください。
例 (1)1U=半角数字円
(2)1U=半角数字円
(3)半角数字日

問題文

f(n)を、nを2,3,4…n-1進数で表したとき末尾に0が並ぶ個数の和であるとする。
（1）f(4000)を求めよ。
（2）nは2種類の素因数を持ち、指数が等しい。このとき、f(n)が奇数になる条件を述べよ。

解答形式

記述。

<問題文>

m,nを互いに素な自然数とし、f(n)はnの約数の個数を表し、g(n)はnの約数を全て掛け合わせた積を表す。このとき、 $$f(mn)=10 $$のとき、$${\log_{mn} g(mn)}を求めよ。$$

<解答形式>

・答えが分数になる場合は$$分子/分母$$と表記してください。
・回答する際は$$最大値,最初値$$と答えてください。
・マイナスは全角－で表記してください。
・$$\sqrt{x^2+x}$$などと√の内部の式が大きくなったり、二文字以上の数字の場合は $$√(数式や数値)$$と答えてください。
・$$\sqrt3$$など√内が一文字の数字の場合は$$√数字$$と回答してください。

問題文

実数x,yが$$2x+3y=π$$を満たす時、$$sin2x+cos3y $$の最大値と最小値を求めよ。

解答形式

・答えが分数になる場合は$$分子/分母$$と表記してください。
・回答する際は$$最大値,最初値$$と答えてください。
・マイナスは全角－で表記してください。
・$$\sqrt{x^2+x}$$などと√の内部の式が大きくなったり、二文字以上の数字の場合は $$√(数式や数値)$$と答えてください。
・$$\sqrt3$$など√内が一文字の数字の場合は$$√数字$$と回答してください。

以下の問題から影響を受けて投稿しました。
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb081/tasks/14982

正整数の列 $(b_1,b_2,…,b_{6000})$ であって, 次の条件をすべて満たすものはいくつありますか. 素数 $1999$ で割った余りを求めてください.

• $b_1\leq b_2 \leq \dots \leq b_{6000}$.
• 以下の条件をすべて満たす正整数の列 $(a_1,a_2,…,a_{10000})$ が存在する.
  • $a_1=1$.
  • $i=1,2,\dots,9999$ に対して, $a_{i+1}=a_i +i+1$ または, $a_{i+1}=a_i+i$ が成り立つ.
  • $i=1,2,\dots,6000$ に対して, $b_i \in\{a_1,a_2,\dots,a_{10000}\}$ が成り立つ.

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第10問を解答しなさい。

解答形式

求めた解を半角の正整数値で入力してください。

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第11問を解答しなさい。

解答形式

半角の正整数値で入力してください。

問題文

$P,Q$を中心とする2円は2点で交わったので、その交点を$X,Y$とする。線分$PQ$とその2円が2点で交わるので、その交点を$A,B$とすると、$P,A,B,Q$がこの順に並んだ。
ここで、$PX=5$。$PQ=13$。$BY⊥XQ$のとき、$AB$の長さを求めよ。

解答形式

求めた解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第4問を解答しなさい。

解答形式

求める解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯題6問を解答しなさい。

解答形式

求めた解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯題8問の解を求めよ。

解答形式

求めた解を半角の正整数値で入力してください。