数学の問題一覧

問題文

正の整数 $a,b,c,d$ が，
$\gcd(a,b,c) = 2$
$\gcd(a,b,d) = 3$
$\gcd(a,c,d) = 5$
$\gcd(b,c,d) = 7$
をすべて満たしているとき，$a + b + c + d$ の取りうる値の最小値を求めよ．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

$$AC = AD，2\angle CBD = \angle CAD$$ をみたす凸四角形 $ABCD$ について，対角線の交点を $E$ とする． また，$ABD$ の外接円と直線 $AC$ の交点を $F$ とする．
$$AE = DE = 6，AB:BF = 3:4$$ が成立するとき，$CD^2$ は正整数 $a, b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ を用いて $a - b\sqrt c$ と表されるため，$a + b + c$ を求めよ．
ただし，$XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとする．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

$3\times3$ のマス目の各マスに $1$ 以上 $9$ 以下の整数を重複しないように $1$ つずつ書き込む．どの行，列についても書き込まれた $3$ 数の和が $3$ で割り切れるように数字を書き込む方法は何通りあるか．
ただし，回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数える．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

長さ $60$ の文字列 $S$ を
$S=\underbrace{ABC \cdots \cdots ABC}_{ABC\text{ が }20 \text{ 個}}$
とする．
$S$ から順番を保ったまま $5$ 文字選ぶ方法であって，選んだ $5$ 文字がこの順に「$ABCBA$」 となるような選び方は何通りあるか．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について、外接円の劣孤 $BC$ の中点を $M$ とする。$ABC$ の外接円の$A$ における接線と直線 $BC$ の交点を $P$ とするとき、
$$AB=8，　BC=12，　\angle PAB=\angle BAM$$ が成立した。このとき $AP$ は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac a b $ と表せるため，$a +b$ を求めよ．
ただし，$XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとする．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

$(a_1,a_2,...,a_{900})$ を各項が $1$ 以上 $900$ 以下であるような整数の組とする．
$i = 1, 2, ..., 900$ について
$$P_i = \displaystyle\prod_{k = 1}^{i} a_k$$
とし，$P_i$ を $900$ で割った余りの取りうる値の個数を $C$ とする．このとき，$C$ の取りうる値のうち最大のものを求めよ．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

a、b、c、dは0ではない整数であり、a＞b＞c＞dを満たす。(ただしad＞bc) この時、a+dとb+cの大小関係を明らかにせよ。

解答形式

画像での回答もok！
解なしであってもなぜそうなるのかも書いてください。場合わけする必要があります。

問題文

１辺が６の立方体ABCDEFGHの辺上に点I,J,Kを取り三角錐B-IJKを作る。
Bから平面IJKに下ろした垂線を垂線Lとし、垂線Lと平面IJKの交点をMとする。
問１
BI=BJ=BK=４とする。
(i)BM:MHを求めよ。
(ii)△IJKの面積を求めよ。
問２
BI=BJ=BK=aとする。(a≦6)
(i)BMの長さをaを用いて表せ。
(ii)△MHCの面積をaを用いて表せ。
(iii)△IJKの面積をaを用いて表せ。
問3
△BIJの面積をS₁,△BIKの面積をS₂,△BKJの面積をS₃,△IKJの面積をS₄とするとき。
(S₁)²＋(S₂)²＋(S₃)²=(S₄)²が成立することを証明せよ。

解答形式

すべて半角数字で回答してください。
比を入力する際には:を使用してください。

問題文

非負整数 $n$ に対し、$\operatorname{popcount}(n)$ を $n$ の二進数表示に含まれる $1$ の個数とする。

次の和の値を求めよ。

$$
\sum_{\substack{a,b,c\geq 0\\a+b+c=255}}
(-1)^{\operatorname{popcount}(a)+\operatorname{popcount}(b)+\operatorname{popcount}(c)}
\left(
\operatorname{popcount}(a)+\operatorname{popcount}(b)+\operatorname{popcount}(c)
\right)
$$

解答形式

非負整数を用いて解答せよ。

問題文

非負整数 $n$ に対し、$\operatorname{popcount}(n)$ を $n$ の二進数表示に含まれる $1$ の個数とする。

また、$\oplus$ は二進表示の各桁に対する排他的論理和（XOR）を表し、$\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表す。

次の和の値を求めよ。

$$
\sum_{k=0}^{2^{28}-1}
(-1)^{\operatorname{popcount}(k)}
\,{}_{\operatorname{popcount}\left(
k\oplus\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor
\oplus\left\lfloor\frac{k}{8}\right\rfloor
\right)}\mathrm{C}_{12}
$$

解答形式

非負整数を用いて解答せよ。

問題文

非負整数 $n$ に対し、$\operatorname{popcount}(n)$ を $n$ の二進数表示に含まれる $1$ の個数とする。また、$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表す。

次の整数の5で割り切れる最大の値を求めろ
$$
\sum_{k=0}^{2^{2000}-1}
(-1)^{\operatorname{popcount}(k)}
\left\lfloor\frac{k^2}{25}\right\rfloor
$$

解答形式

非負整数を用いて解答せよ。

問題文

非負整数 $n$ に対し、$\operatorname{popcount}(n)$ を $n$ の二進数表示に含まれる $1$ の個数とする。

次の和の値を求めよ。

$$
\sum_{k=0}^{2^{20}-1}
(-1)^{\operatorname{popcount}(k)+\operatorname{popcount}(k+1025)}
$$

解答形式

非負整数を用いて解答せよ。