数学の問題一覧
問題文
この問題は、Prime Prime Prime (Easy)と一部分一致しているため、相違点を赤色で強調しています。
また、必要とされる素数表の大きさがOMCに乗っているものよりも大きいため、この問題に限り、外部の素数表の閲覧を許可します。
$n$ 桁の素数であって，すべての $i,j$ $ (1 \le i $ ＜ $ j \le n)$ において， $i$ 桁目から $j$ 桁目までが素数である数のうち，最大のものを答えてください．
例えば， $23$ は $23(i=1,j=2)$ が全て素数なので条件を満たします．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$n$を素因数分解したときの2の指数を$v_{2}(n)$と表します。
この時、$$v_2\left( \prod_{k=1}^{2025} (5^k - 1) \right)$$の値を求めてください。
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
$30$ 人の人が $\pi$ ナポゥ君の主催するたけのこニョッキ大会に参加します．ルールは次の通りです．
- $i=30,29, \dotsc,1$ の順に $1$ 人 $1$ つの数 $i$ を叫んでいき，最後まで叫ぶことができたら成功である．もし $i$ を複数人が叫んでしまったり，だれも叫ばなかったりした場合は失敗である．
なかなか成功しないことに気づいた $\pi$ ナポゥ君は，次のように八百長をすることにしました．
- はじめに $30$ 人それぞれに正整数を与え，$i=30,29,\dotsc,1$ について以下を繰り返す．
- まだ叫んでいない人の内，与えられた数が $i$ の約数もしくは倍数である人は，数 $i$ を叫ぶ．
このたけのこニョッキが成功するような，$30$ 人に与えられる正整数の総和の最小値を解答して下さい．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$AB>AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とする。線分 $AD$ 上に $AP:PD=AB:BC, AQ:QD=AC:CB$ を満たす点 $P,Q$ をとり、$AC$上に点 $R$ 、$AB$上に点 $S$ を $BC//PR//QS$ を満たすようにおいた。$\triangle APR$ の外接円と $\triangle AQS$ の外接円の交点を $T(\neq A)$ 、$\triangle BCT$ の内心を $I$ 、直線 $ RS $ と直線 $BI$ ,直線 $CI$ の交点を $U,V$ 、線分 $BC$ ,線分 $UV$ の中点を $M,N$ としたところ$$MN=5,UV=16$$であった。$\triangle BCT$ の内接円の半径が $2$ のとき、$IT$ の長さを求めよ。
解答形式
求める値の二乗は互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $\frac{p}{q}$と表せるので、 $p+q$ の値を答えてください。
問題文
$\quad$三角形 $ABC$ において，内心を $I$ ，角 $A$ 内の傍心を $I_A$ ，外心を $O$ とすると，直線 $II_A$ と直線 $IO$ は垂直に交わった．線分 $BC$ の中点を $M$ ，線分 $II_A$ と線分 $BC$ の交点を $K$ とし，三角形 $MKI_A$ の重心を $G$ とすると， $$KM=1，KG=3$$が成立した．このとき，線分 $BC$ の長さを求めよ．
解答形式
求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．
問題文
$\quad$鋭角三角形 $ABC$ において， $B$ を通り直線 $AC$ に平行な直線上に点 $P$ を， $C$ を通り直線 $AB$ に平行な直線上に点 $Q$ をそれぞれとると， $A,P,Q$ はすべて直線 $BC$ に関して同じ方にあり， $\angle APB=\angle AQC$ が成立した．また，三角形 $PAB$ の外接円と三角形 $QAC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とし，直線 $PQ$ と直線 $BX,CX$ の交点をそれぞれ $R,S$ とすると，
$$\cos\angle BXC=\frac 15，CX-BX=5，XR:XS=5:3$$が成立した．さらに，線分 $BC$ の中点を $M$ ，直線 $AX$ と三角形 $PXQ$ の外接円が再び交わる点を $T$ とし，三角形 $TPQ$ の内心を $I$ とすると，直線 $AX$ と直線 $MI$ は平行であった．このとき，線分 $XI$ の長さを求めよ．
解答形式
求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．
問題文
任意の自然数$i$に対して、$z_i$は$z_i^6=1$を満たす複素数である。複素数$w$について、$w= \sum_{k=1}^{100}z_k$とするとき、$w$がとりうる値の個数を求めよ。
解答形式
自然数(半角入力)のみで答えてください。
問題
以下の解答欄を埋めよ。
正の実数に対して定義され、実数値をとる連続関数 $f(x)$ が、任意の正の実数 $x$ に対して $$f(x^2)=f(x)+\frac{\log_2{x}}{x+1}$$
を満たしている。このとき、
$$
f(16)-f(8)=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエオ}}
$$
である。なお、このような $f$ は確かに存在し、上記の値は一意に定まることが証明できる。
解答形式
解答欄ア〜オには、それぞれ0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えること。