$11$ 個の実数 $A_0 , A_1 , \cdots , A_{10} $ が $n=0 , 1 , \cdots , 9$ に対して$$\sum_{k=0}^{10}{A_kk^n}=0$$を満たします. $A_0=1$ のとき, $\sum_{k=0}^{10}{A_kk^{10}}$ の値を求めてください. ただし, $0^0=1$とします.
非負整数を答えてください.
$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。
半角数字で入力してください。
実数から実数への関数$f$であって任意の実数$x,y$について$$f(x)+f(f(y)+x)=f(f(x))+4y$$ が成り立つようなものを全て求めよ。
簡単でいいので証明もお願いします。
$x,y,n$を正整数、$p$を$n$以上の素数とする。 $$x^{p}-y^{p}=p^{n}$$ を満たすような組($x,y,n,p$)は存在しないことを示せ。
証明をお願いします。
$n$を正整数、$p$を素数とする。 $n^{2}+p$が$4$で割り切れるような組$(n,p)$は無限に存在することを示せ。
チェス盤(8*8)に8つのルークを置く。 このとき、どのルークもほかのルークの利きに置いてはいけない。 このような条件を満たすルークの置き方(回転、鏡像は別とみなす)の場合の数を求めよ。
半角数字でお答えください。
3回テストをして、それぞれの点数が、70点、65点、x点でした。これらの平均点を、文字を使った式で表しなさい。
自然数nを用いた素数2^n+5^(n+1)は存在するか。
証明する形式。
与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030
因数分解された式のみ回答
問題文を入力してください
例）ひらがなで入力してください。
3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える。 その面積を$S$、内接円の半径を$r$、斜辺を$a$とする。
これら3つの量の間に、「面積$S$を斜辺$a$で割ったときの余りが、内接円の半径$r$に等しい」という関係が成り立つ全ての直角三角形のうち、周長が$1000$未満であるものを全て求め、それらの斜辺の長さの総和を求めよ。
半角スペースなし
ある整数辺の直角三角形について考える。 その三角形の半周長を$s$、斜辺を$a$、内接円の半径を $r $とする。 一辺の長さが $s$の正方形から、一辺の長さが a の正方形を隅から切り取ってできた、L字型の領域を考える。 このL字型の領域が、一辺の長さが$r$の正方形タイルを、重なりも隙間もなく、ちょうど整数枚だけ使って完璧に敷き詰められるという。 この条件を満たす三角形はどのようなものか、論ぜよ。
最初にその三角形の形状を示し、 ある程度計算などを省略した証明をお願いします
