数学の問題一覧

問題文

長方形に内接する半円があります。青い三角形の面積が9のとき、赤い線分の長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #020】
　今週の図形問題は円がらみの求長問題を用意しました。いつも通り暗算解法も仕込んであります。初等幾何猛者の方はぜひ脳内で処理しきってみてください。猛者とまではいかないという方もじっくりと挑戦してもらえたら嬉しいです！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\myang#1{\angle \mathrm{#1}}
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体方針をぼんやりと
2. ヒント1の続き
3. ヒント2をやや具体的に
4. ヒント3の続き

問題文

長方形の4頂点と、ある1点を結びました。青い部分の面積の合計が10のとき、赤い三角形の面積を求めてください。

※半円は問題に関係ありません

解答形式

半角数字で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #019】
　1週空いての久しぶりの出題となりました。今回はガリガリ長さを求める解法から暗算解法まで解法の種類多めとなっています。腕に覚えのある方は暗算解法だけでなく、解法の数にも挑戦してもらえたら嬉しいです！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 注目点
2. 全体方針
3. ヒント2をやや具体的に

問題文

初めに$N$枚のコインを持っています。下記のルールを守ってゲームを$m$回するとき、最後に持っているコインの枚数としてありえる枚数は$K$通りあります。このとき場合の数$K$を最大化するための$m$を答えてください。

ルール

• コインゲーム筐体は$n$台あり一列に並んでいます。
• 左から$i$番目の筐体でゲームをするにはコインを$i$枚消費します。
• 1つの筐体につき一度しかゲームをできません。
• ゲームに成功するとその筐体で消費した枚数の倍の枚数のコインが手に入ります。
• ゲームに失敗するとコインは一枚も手に入りません。
• 筐体は好きな順番でゲームをすることができます。

制約

• $1 \le m \le n$
• $2 \le n $
• $ n^2 < N $

解答形式

半角英数と下記の半角記号で答えてください。

半角記号

()+-/^!

例

x^(n-1)/(x+y)!

問題文

扇形の内部に図のように線を引きました。赤い線分の長さが$2\sqrt 5$のとき、青い線分の長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

◆◆◆◆◆◆◆◆◆
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1辺が8cmの正方形ABCDの内部に点E・Ｇ・Ｈがあり、外部に点Fがあります。
BE=AF・CE=DFで、△EGCと△HGBは直角二等辺三角形です。
このとき、△AFHと△EGHの面積の合計は何cm²か、求めてください。
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◆◆◆◆◆◆◆◆◆

▸解答形式

単位不要。半角入力。
〔例〕　12cm²と答えたいとき　→　「 12 」

問題文

半円と平行四辺形が図のように配置されています。赤い三角形の面積が3のとき、青い線分の長さを求めてください。

※平行四辺形の一辺と半円は接する。

解答形式

$$x=\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イウ}-\fbox エ\sqrt{\fbox オ}}$$と表せるので、文字列 アイウエオ を解答してください。ただし、$\fbox ア～\fbox オ$には0以上9以下の整数が入ります。

問題文

3本の杭と中央に穴のあいた大きさの異なる$n$枚の円盤があります。いま、杭の1つにすべての円盤が小さいものが上にくるように積み重なっています（初期状態）。この状態から下記のルールを守りながら操作を行うとき、初期状態から到達し得る状態は何通りありますか。ただし初期状態も1通りと数え、また3本の杭は区別することとします。

例えば「左端の杭に大きさ1から$n$の全ての円盤が積み重なっている状態」を1つ、そこから操作を一回だけ行い、「左端に大きさ2から$n$の円盤、真ん中に大きさ1の円盤が積み重なっている状態」を1つ、のように状態の数をカウントします。また、「真ん中の杭に大きさ1から$n$の全ての円盤が積み重なっている状態」と、「右端の杭に大きさ1から$n$の全ての円盤が積み重なっている状態」のように杭が異なる場合もそれぞれ別の状態としてカウントします。

ルール

• 円盤は一回に一枚ずつしか移動できない。
• 小さな円盤の上に大きな円盤を乗せることはできない。

解答形式

半角英数字と下記の半角記号で答えてください。式中にスペースを含めないでください。

使える記号

• 「+」加算
• 「-」減算
• 「*」乗算
• 「/」除算（分数）
• 「( )」かっこ
• 「^」冪乗
• 「!」階乗

問題文

円周率が3.25より小さいことを証明せよ

解答形式

中学～高校レベルで証明してください

【補助線主体の図形問題 #018】
　今回は単純な設定なだけに様々な解法が潜んでいそうな問題を用意しました。あれこれ補助線を引いているうちに解けてしまうかもしれませんが、しっかり暗算解法も仕込んであります。いろいろな発想をお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体の方針をぼんやりと
2. 注目点をぼんやりと
3. ヒント2の続き
4. ヒント3の続き

問題文

3つの半円が図のように配置されています。赤い線分の長さが$2\sqrt 2$のとき、青い線分の長さを求めてください。
なお、青い線分は2つの半円の中心間を結ぶ線分です。

※最大の半円と最小の半円の半径比は2：1。傾いた半円は最小の半円に接する。

解答形式

半角数字で解答してください。