数学の問題一覧
OMCB030-C(https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/tasks/4587)
のもう一つの案です.
$2$ 以上の整数 $n$ に対し，$n$ が持つ相異なる素因数の総積を $\mathrm{rad}(n)$ で表します．例えば，$\mathrm{rad}(18)=2×3$ です．次の等式を満たす $2$ 以上の整数 $m$ の総和を求めてください．
$$m=\mathrm{rad}(m)+240$$
問題文
$$ I_n=\int_{1}^{n}\log x dx $$
とする。ただし$n$は非負の整数。以下の設問に答えよ。ただし、必要ならば以下の式を用いてよい。
$$ e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$
- $I_n \leq \log n! \leq I_{n+1}$を示せ。(20点)
- $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{(n+1)^n}$を求めよ。(30点)
解答形式
入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。
注意
解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。
もし余裕があれば...
-
問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。
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例えば、以下のような観点でコメントしてくれると嬉しいです。
（もちろん、全てのテーマでコメントせずとも大丈夫ですし、他の観点からのコメントや批判も歓迎します）- この設問が完答できる生徒のレベル感は？（ヒント有、無それぞれ）
- ヒントありとして、授業に用いるとしたらどうか？
- ヒント無しで大学入試で出題されるとしたらどうか？
（かつて別のサイトに乗せたことがある問題です。）
問題文(50点)
$xy$平面で楕円について考察したい。以下の設問に答えよ。ただし、$a>c\geq0$とする。
①：長半径が$a$、焦点が$(0,0)$と$(-2c,0)$である楕円の方程式を定義から導け。(15点)
ここで、以下の様に$r,\theta$を導入する。
$$r=\sqrt{x^2+y^2},\ \cos\theta = \frac{x}{r},\ \sin\theta = \frac{y}{r}$$
また、$q$を以下の様に定義する。
$$q = \frac{c}{a}$$
このとき、①の楕円において次が成り立つ。
$$r=\frac{a(1-q^2)}{1+q \cos\theta} \tag{i}$$
②： $\ (\mathrm{i})\ $を示せ。(15点)
③： ①の楕円を原点周りに30°回転させた図形を$C$とする。また、$C$と$x$軸の交点をそれぞれ$A、B$とし、線分$AB$の長さを$L(q)$とする。$a$を定数として、$L(q)$の最大値及びそのときの$q$を求めよ。さらに、$L(q)$が最大になるとき、$C$はどのような図形か、その特徴を述べよ。(20点)
解答形式
入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。
注意
- 解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。
もし余裕があれば...
-
問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。
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例えば、この設問が完答できる生徒のレベル感などを予想してもらえると助かります。
問題文
$1$ 以上 $15$ 以下の整数の組 $(a, b, c)$ であって
$$(2a + 2b + 2c - 33)^2 = (|2a - 9| + |2b - 11| + |2c - 13|)^2$$
をみたすものは全部でいくつありますか？
解答形式
半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．
問題文
$AB≠AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の内心を$I$とする。三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接している。$D$を通り$EF$に垂直な直線と$\omega$の交点のうち,$D$でない方を$G$とし,直線$AG$と$\omega$の交点のうち,$G$でない方を$H$とする。さらに,三角形$BHF$と三角形$CHE$の外接円の交点のうち,$H$でない方を$J$とし,直線$HJ$と直線$DI$の交点を$X$とすると以下が成立した。
$$
DX=\sqrt{1122} AH||DX DG=22
$$
このとき,$AX^{2}$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので,$a+b$の値を解答して下さい。
解答形式
半角数字で解答して下さい。
問題文
holoXのずのーである『博衣こより』はとある実験に成功し、同じholoXのメンバーである『ラプラス・ダークネス』『鷹嶺ルイ』『沙花叉クロヱ』『風真いろは』と自分自身をそれぞれ $6$ 人ずつに分身させてしまいました．
分身させた計 $30$ 人のうち $6$ 人を選び，下記の条件に沿って左右 $1$ 列に並べる方法は何通りありますか．
- 『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』は隣り合ってはならない．（こよクロ（『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』のユニット）は解散しているため）
- 『ラプラス・ダークネス』の左右のどちらか隣に『鷹嶺ルイ』がいないといけない（『ラプラス・ダークネス』は『鷹嶺ルイ』が近くにいないと不安になってしまうため．しかし，『鷹嶺ルイ』の隣に『ラプラス・ダークネス』がいなくても良い．）
解答形式
半角整数で入力してください．