相異なる正の整数$a, b,c, d,k$が
$$a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = k$$
を満たすものとします。$k$の最小値を求めてください。
半角数字で回答してください。
$n$を2以上の整数とし, $f(x)=\sqrt[n]{x^n+nx^{n-1}} (x\geq0)$を考える。
$(1)$ $x$を正の整数とするとき, $f(x)$の値が整数でないことを示せ。
$(2)$ $y=f(x)$, $x$軸, $x=m-1$ ($m$は正の整数) で囲まれた領域内(境界線上も含む)の格子点の数を求めよ。
$(2)$ で $m=100$ のときの答えを半角数字で入力してください。
自然数の組に対する二項演算 $\small \bigcirc$ および $ \triangle$ は以下の条件を満たすとする。
$$
\newcommand{\o}{\ \small\bigcirc \ \normalsize }
\newcommand{\tr}{\ \triangle \ }
a\tr b=\underbrace{(a\o (a\o (\cdots \o(a\o a))))}_{a\ が\ b\ 個}
$$
二項演算 $\tr$ が可換性
$$
a\tr b=b\tr a
$$
を満たすとき、次の問に答えよ
(1) $1\o 1=2$ を示せ。
(2) 演算$\o$が結合法則
$$
a\o(b\o c)=(a\o b)\o c
$$
を満たすとき $2020\tr 2019$ の値を求めよ。
(2)の値を半角数字で記述せよ。
自然数$a,b,c,d$は
$$
a\neq b
$$ $$
(a+b)(a-b)+(ad-bc)=0
$$ $$
bc-a^2=1
$$
を満たしています.このとき
$$
\frac{c-d}{a-b}
$$
の取り得る値を全て求めてください.
半角数字で解答してください.複数ある場合は小さい順に一行ずつ入力してください.
Ex:答えが「1」と「-$\frac{3}{89}$」と「100」のとき
-3/89
1
100
と解答してください.
枝と葉からなる $2$ 次元的な植物を考えます。植物は,以下の条件を満たすような枝 $s$ 本と葉 $l$ 枚からなります。
条件
この植物の重さ $n$ は $n=2s+l$ で表されます。例えば,重さ $4$ の異なる植物をすべて描いたものは下図のようになります。
ここで,ある点に着目したときに,その点から出ている葉と枝の並びが異なるものは区別することに注意しましょう。
重さ $n$ の植物が $t_n$ 種類あるとき
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t_n}{3^n}
\end{equation}の値を求めなさい。ただし,級数が収束することは証明なしに用いてかまいません。
答えは正の有理数 $r$ です。
実数$ a $ を $a=\sqrt[3]{1+\sqrt2} +\sqrt[3]{1-\sqrt2}$ で定める。以下の問いに答えよ。
⑴ $a^3+3a-2=0$ であることを示せ。また、$0<a<2$ を示せ。
⑵ $x$ について以下の恒等式が成り立つことを示せ。
$$
x^4+4x-3=(x^2+a)^2-2a\left(x-\frac{1}{a}\right)^2
$$
⑶ 4次方程式 $x^4+4x-3=0$ の実数解を $a$ を用いて表せ。
⑶のみ解答せよ。解は2つ存在し、
$$
x= -\sqrt{\frac{ア}{イ}}\ \pm \ \sqrt{\sqrt{\frac{ウ}{エ}}-\frac{オ}{カ}}
$$
の形である。ア~カのそれぞれには1から9までの自然数または文字$a$が入る。
ア~カに当てはまる数字または文字を、順にすべて半角で入力せよ。
たとえばア=2、イ=7、ウ=3、エ=5、オ=8、カ=$a$ と解答する場合は、
「27358a」と入力せよ。
非負整数$n$に対し関数$f$を次のように定める。
$$f(n) = \frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}$$
$1$から$2020$までの整数について$f(n)$が整数となるような$n$の個数を求めよ。
半角数字で入力せよ。
$x^4+4$ を因数分解せよ。また、この結果を用いて $50629$ を素因数分解せよ。
50629の素因数を小さい順に1,2,3......行目に半角数字で入力せよ。