正六角形2つが図のように配置されています。赤い線分と青い線分の長さの比が1:4であるとき、緑で示した角Yの角度を求めてください。
ただし、図中"center"で示した点は正六角形の外心です。
0~360までの半角数字で、「°」や「度」をつけずに解答してください。
$\triangle ABC$の辺$AB$上に点$D$が,辺$AC$上に点$E$がそれぞれある.また,辺$BC$上に2点$P,Q$があり,4点$B,P,Q,C$はこの順に並んでいる.
$\triangle BDP$の外接円の$B$における接線と,$\triangle CEQ$の外接円の$C$における接線とが点$F$で交わっている.
$AD=2,DB=4,AE=5,EC=3,BP=1,PQ=10,QC=1$のとき,$AF=\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$である.ただし,$a,b,c$はいずれも正の整数であり,$a,c$は互いに素である.また,根号の内部は十分簡単になっている.
$a+b+c$の値を求めよ.
半角数字で解答してください.
正方形が2つ、図のように配置されています。赤い線分の長さが20のとき、緑で示した四角形の面積を求めてください。
ただし、図中の青点はそれぞれの正方形の対角線の交点です。
半角数字で解答してください。
図の条件の下で、$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$ の値を求めてください。
半角数字で解答してください。
【補助線主体の図形問題 #078】
今週来週と2週続けて内心と傍心をテーマにした問題をお送りします。補助線が活躍するのはいつも通りです。若干計算量が多いので、紙とペンを用意した方が安心できるかもしれません。暗算で解いてやるという初等幾何猛者の方はどうぞ暗算で解いてやってください!
${}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。
$n$ を自然数とする。置換 $\sigma\in \mathfrak{S}_n$ に対して,$\sigma$ の近道度 $m(\sigma)$ を次のように定義する。
例えば $\sigma=(1 4 2)(5 6 7)(3)\in \mathfrak{S}_7$ なら,$\sigma$ は長さ $3, 3, 1$ の巡回置換からなるから,$\sigma$ の近道度 $m(\sigma)$ は
$$
m(\sigma)=\frac{1}{3\cdot 3\cdot 1}=\frac{1}{9}
$$
である。自然数 $n$ に対して,${1,\cdots, n}$ の置換(これは $n!$ 通りある)の近道度の平均を
$$
f_n=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} m(\sigma)
$$
とおく。
$$
f_1=1, \; f_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, \; f_4=\frac{\fbox{ウエオ}}{\fbox{カキク}}
$$
であり,
$$
\sum_{n=0}^{\infty} f_n=\fbox{X}
$$
である(級数が収束することは証明なしに認めてよい)。ただし $f_0=1$ と約束する。
※ $\mathfrak{S}_n$ は $n$ 次対称群を表す(19:03追記)。
$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{ク}$ には 0 - 9
の数字が当てはまります。$\fbox{ X }$にはある実数が当てはまります。空欄のある分数はすべて既約です。
9.9
と解答してください。数列$~\{a_n\},~\{b_n\}$を相異なる2つの実数$~\alpha,\beta~$を用いて以下のように定義する。
$$
a_n = \cfrac{1}{\displaystyle{\sum_{k=0}^n}\alpha^{n-k}\beta^{k}}~~~,~~~b_n = \sum_{m=0}^\infty\frac{1}{a_mn^{m+2}}
$$ただし、$\{b_n\}~$は$n\geq 2$で定義されるものとする。$\alpha,\beta~$が
$$
\begin{cases}
\alpha + \beta = 1\\
|\alpha||\beta| = 1
\end{cases}
$$を満たすとき、
$$
a_k = b_k
$$となる最小の自然数$~k~$は$~k=\fbox{ア}\fbox{イ}$であり、このとき$~b_k = \cfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}$である。
ア〜オには0から9までの数字のいずれかが入る。
数字列「アイウエオ」をすべて半角で入力し解答せよ。
ただし、分数は既約分数の形にすること。
扇形の内部に図のように線を引きました。赤い線分の長さが$2\sqrt 5$のとき、青い線分の長さを求めてください。
半角数字で解答してください。