数学の問題一覧
【補助線主体の図形問題 #046】
バレンタイン直前なのを意識してこんな図形問題を用意してみました。イベント便乗の色物問題ですが、方針次第では暗算で処理できるのはいつも通りです。補助線と共に存分にお楽しみください。
解答形式
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
問題文
十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $a,b,c,d,e,f$ であるような $6$ 桁の整数を $A$ とし，十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $e,f,a,b,c,d$ であるような $6$ 桁の整数を $B$ とします．
相異なる $1$ 桁の整数 $a,b,c,d,e,f$ が $e>a>0$ を満たしながら動くとき，$A$ と $B$ の最大公約数の最大値を求めてください．
解答形式
半角数字で解答してください．
【補助線主体の図形問題 #124】
年始は西暦を織り込んだ数学・パズルの問題をお送りしてきましたが、また日曜夜通例の「補助線主体の図形問題」に戻ります。変わらぬご愛顧ををどうかよろしくお願いします。
今回は、補助線を使えば計算量減を図れ、補助線を使わないと面倒な計算を強いられるという問題を用意しました。補助線解法を期待しているのですが、力技で解くのもアリです。お好きなようにお楽しみください。
解答形式
${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
【補助線主体の図形問題 #117】
今週の図形問題です。少しずつ発見を積み重ねていく、やや重めの問題となっています。どうぞじっくりと取り組んでやってください。
お詫びと訂正
${}$ 投稿時点から翌日10月2日(月)午前1時過ぎまで、$\mathrm{AB} > \mathrm{AC}$となるべきところが$\mathrm{AB} > \mathrm{BC}$となっていました。お詫びして訂正いたします。現在は修正済みの画像となっています。
解答形式
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
問題文
正の整数 $a,b,c$ が
$$
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^b
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^c
=\begin{pmatrix} 1 & 20 & 2024\\ 0 & 1 & 24 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
$$
を満たすとき、$a+b+c$ の値を求めよ。
解答形式
半角数字で1行目に入力せよ。
問題文
図の条件の下で $x$ の長さを求めてください。
解答形式に注意してください。
解答形式
$x^2$ の値を半角数字で解答してください。
問題
自然数の組に対する二項演算 $\small \bigcirc$ および $ \triangle$ は以下の条件を満たすとする。
$$
\newcommand{\o}{\ \small\bigcirc \ \normalsize }
\newcommand{\tr}{\ \triangle \ }
a\tr b=\underbrace{(a\o (a\o (\cdots \o(a\o a))))}_{a\ が\ b\ 個}
$$
二項演算 $\tr$ が可換性
$$
a\tr b=b\tr a
$$
を満たすとき、次の問に答えよ
(1) $1\o 1=2$ を示せ。
(2) 演算$\o$が結合法則
$$
a\o(b\o c)=(a\o b)\o c
$$
を満たすとき $2020\tr 2019$ の値を求めよ。
解答形式
(2)の値を半角数字で記述せよ。
問題文
$x_1,x_2,\ldots,x_{24}$は正の実数とします。このとき、次の式の最小値を求めてください。
$$
\left(\sum_{n=1}^{24}\frac{n}{x_n}\right)\times\left(\sum_{n=1}^{24}nx_n\right)
$$
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
実数 $x,y$ が $\bigg\{\begin{aligned}
20x+12y=20 \\
23x+31y=24
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$2023x+1231y$ の値を求めて下さい．
解答形式
半角数字で解答してください．