数学の問題一覧

問題文

正方形の中に図のように線を引きました。赤、青の線分の長さがそれぞれ1,7のとき、緑の線分の長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

図の条件の下で、$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$ の値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #078】
　今週来週と2週続けて内心と傍心をテーマにした問題をお送りします。補助線が活躍するのはいつも通りです。若干計算量が多いので、紙とペンを用意した方が安心できるかもしれません。暗算で解いてやるという初等幾何猛者の方はどうぞ暗算で解いてやってください！

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

次の計算をせよ．

$$
\sum_{k=1}^{2023}\sec\dfrac{6k-5}{6069}\pi\quad
$$

ただし，$\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$とする．

解答形式

解答は整数となります．そのまま半角で入力してください．

問題文

$0$でない整数$x，y，z$について$A=xy−z，B=x-yz$と定める。$A+B=3，A-B=5$となるとき、$x，y，z$の値を求めよ

問題文

一次関数$f(x)$と$g(x)$は以下を満たす
(但し$t$は定数)
$$
\begin{cases} f(x)=4x+g(t)\\
g(x)=−2x-f(t) \end{cases}
$$
$f(2)=2$のとき、$g(2)$の値を求めよ。

解答形式

自由

問題文

以下の多重根号を簡略化せよ。

2022/12/09 訂正:

難易度やnaoperc様よりご指摘いただいた根号の指数の誤りなど複数箇所を訂正しました.

2023/02/11 訂正:

問題文, 解答形式の文章を他の問題と統一しました. 解答に影響はありません.

2023/03/21 訂正:

解答形式を変更しました. 解答に影響はありません.

解答形式

スペースを含めず, ASCII文字のみを用いて $\mathrm{\LaTeX}$ 形式で解答してください. $は必要ありません.

問題文

図の条件の下で，線分 $AB$ の長さを求めてください．
※orthocenter：垂心，circumcenter：外心

解答形式

$AB^2$ の値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

$xy$平面上において、$A(1,0),B(1,1)$とする。中心が原点の単位円上に動点$P$、線分$AB$上に動点$Q$をとる。また、三角形$PQR$が正三角形となるように点$R$をとる。ただし、点$P,Q,R$はこの順に反時計回りに位置し、点$P,Q$がともに$(1,0)$にあるときは$R(1,0)$とする。このとき、点$R$の動きうる領域を図示し、その面積を求めよ。

解答形式

面積のみを解答してください。
答えは$\displaystyle\frac{\pi}{a}+\frac{b+\sqrt{c}}{d}$($a,b,c,d$は1桁の自然数)となりますので、センター、共通テスト形式で$a,b,c,d$を埋め、4桁の自然数「abcd」を入力してください。

${}$　西暦2023年問題第3弾です。今回は数列から2023の位置を問うという、入試問題にありがちなテーマ設定にしてみました。問題文はあえて小難しく書いてますが、数列の規則性をとらえられれば十分です。軽く解いてやってください。

解答形式

${}$　解答は、$a_{n}=2023$となる$n$の値をそのまま入力してください。なお、$a_{n}=2023$となる$n$が存在しない場合には「-1」と入力してください。
（例） $a_{103}=2023$ → $\color{blue}{103}$

問題文

図のように長方形や直角三角形の内接円が配置されています。青で示した角の角度を求めてください。

解答形式

度数法で求め、半角数字で0以上360未満の整数を解答してください。
※度や°などの単位は付けないでください。

おことわり

以下の問題において，1日は正確に24時間，1時間は正確に60分，1分は正確に60秒であるとする。

問題

1太陽年（すなわち地球の公転周期）を正確に31556925秒とする。1年を365日とした暦（以下「暦」という）と太陽年を合わせるため，ある$X$年の暦において，次の条件に当てはまったときにうるう年を施す。

うるう年の決め方

1. $X$が4で割り切れる年を366日とする。これをうるう年という。

2. $X$が100で割り切れる年には施されるはずだった，うるう年をキャンセルする。

3. $X$が400で割り切れる年はうるう年とする。

このうるう年の仕組みにより，太陽年と大きくずれることなく暦を運用できる。

ある年$Y$年において，うるう年を勘案しても暦が太陽年と1日以上のずれを起こすことが分かった。このとき，$Y$の最小値を求めよ。ただし$Y$は自然数とする。

解答形式

解答は自動で判定されます。半角数字のみで答えてください。単位，カンマ区切り，0埋め，有効数字などは必要ありません。

◎　よい例

• 2023
• 1
• 1000000000000

▲　わるい例

• 2023年（単位）
• 2,023（カンマ区切り）
• 0002（0埋め）
• 1.0×10^5（有効数字）