数学の問題一覧
問題文
$a_{1} = 3$ , $a_{n+1} = \frac{a_{n}(a_{n}+1)}{2}$
とする($n$は自然数)。
また、$2$ 以上の自然数を $p$ とし、$a_{n}$を $3^{p}$ で割った時の余りを $R_{n}^{p}$ とする。
このとき、数列 {$R_{n}^{p}$} は
「周期の長さが $2×3^{p-2}$ 」であり、
かつ「 $0$ 以上 $3^{p}$ 未満の $3$ の倍数のうち $9$ の倍数ではない数」
をすべて巡回することを示せ。
解答形式
論述形式です。途中までの投稿もOKです。$p$ の値が小さければ、試してみると成立していることが分かります。
問題文
2つの三角形ABCとQCRが図のように配置されています。各点が画像に記した条件を満たすとき、赤い三角形の面積を求めてください。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
定数$\,c\,$は$\,0<c\sqrt{c-1}<4\,$を満たす定数とする。
複素数列$\,\lbrace z_n \rbrace\,$は次の漸化式を満たし、初項$\,z_1\,$の実部は正である。
$$
z_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{c}\left(z_n+\frac{1}{z_n}\right)\,\,\,\,\,(n=1,2,3,...)
$$
このとき$\,\displaystyle \lim_{ n \to \infty}|z_n-\alpha|=0\,$を満たすような複素数$\,\alpha\,$を求めよ。
解答形式
記述式(答えのみも歓迎)
問題文
1
下の行列$A$に対して$f\colon \mathbb{R}^{6} \to \mathbb{R}$を$f(x)={}^{t}xAx$で定義する。${}^{t}x$は$x$の転置である。
$f$が原点で最大最小をとらない$a$の範囲を求めよ。
$$
A=\begin{pmatrix}
a& -3 & -a & 2 & 9 & a\\
-3 & -3 & 1 & 0 & 5 & 1\\
-a& 1 & 4 & 5 & 4 & 7\\
2& 0 & 5 & 1 & a & 1\\
9& 5& 4 & a & -4 & -4\\
a& 1 & 7 & 1 & -4 & a\\
\end{pmatrix}
$$
2
$$
X=\begin{pmatrix}
1& 6 & 0 & -2 & 1 & 0\\
2 & b& 2 & 1 & 4& 3\\
-1& 9 & -3 & 7 & 1 & -1\\
2& -1 & 0 & 1 & 6 & 0\\
-1& -4 & -3 & 2 & b & 2\\
-7& -1 & 1 & -1 & 9 & -3
\end{pmatrix}
$$
が実対角化可能な$b$の範囲を求めよ。
ヒント1は1のヒント、ヒント2-4が2のヒントです。
解答形式
$\displaystyle\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}<a<\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$、$\displaystyle\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}<b<\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}$
である。$\fbox{ア}$から順に1行ごとに答えよ。
ただし、任意の$a$で成立しないときは
$$
\fbox{ア}=00,\fbox{イ}=00,\fbox{ウ}=00,\fbox{エ}=00
$$
とし、任意の$a$で成立するときは
$$
\fbox{ア}=000,\fbox{イ}=000,\fbox{ウ}=000,\fbox{エ}=000
$$
のように答えてください。$b$も同様です。
問題文
△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。
ただし、OとHが一致する場合は除きます。
解答形式
∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。
$\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。
問題文
同一平面上に2つの円$C_1$と$C_2$があり、2円の半径はいずれも1で、2円の中心間距離は4である。円$C_1$上に動点$P$をおき、点$P$から円$C_2$に2本の接線$l_1,l_2$を引く。また、$l_1,l_2$と円$C_2$の接点をそれぞれ$Q,R$とする。点$P$が円$C_1$上を動くとき、線分$QR$が通過しうる領域$X$の面積$S$を求めよ。
解答形式
答えは
$\displaystyle S=\frac{\sqrt{[ab]}}{[cde]}\log{\frac{[f]+[g]\sqrt{[hi]}}{[j]−[k]\sqrt{[l]}}}+\frac{π}{[m]}+\frac{[n]}{[op]}(\sqrt{[q]}−[r])$
の形になります。(a~rは一桁の自然数)
センターや共通テストのマークと同じ形式で数字を埋め、「abcdefghijklmnopqr」(18桁の自然数)を半角で入力してください。
問題文
${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ を $2\times 2$ 正則行列全体の集合とする．単位行列を $E$ とし，${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ の部分集合 $S$ を
\begin{equation}
S=\{ A\in {\rm GL}(2,\mathbb{R})\mid \forall X\in {\rm GL}(2,\mathbb{R}), AX=XA\}
\end{equation}
で定めるとき
\begin{equation}
S=\{ rE \mid r\in \mathbb{R}, r\neq 0\}
\end{equation}
であることを証明せよ．
