AS

方程式 $x^2+xy+y^3=7$ の表す図形を $y$ 方向に $\fbox{ (1) }$ 平行移動してから $\fbox{ (2) }$ に関して対称移動し，$x$ 方向に $\fbox{ (3) }$ 平行移動し，$\fbox{ (4) }$ に関して対称移動すると，方程式 $x^3-3x^2+xy-y^2+5y=0$ の表す図形となる．

以上の空欄 $(1)\sim(4)$ を適切に補充せよ．ただし，$(1),(3)$ には数値を答え，$(2),(4)$ には以下の語群から言葉を選び答えよ．

【語群】
$\mathrm A.\,x$ 軸
$\mathrm B.\,y$ 軸
$\mathrm C.$ 直線 $y=x$

答えは，空欄 $(1),(2),(3),(4)$ に当てはまる数または記号をそれぞれ $1,2,3,4$ 行目に記して答えよ．
ここで，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
と記すこと．

【解答例】
3
A
-5/13
B

面積 $1$ の平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ に対し，辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm K,\mathrm L,\mathrm M,\mathrm N$ とする．$8$ 直線 $\mathrm{AL},\mathrm{AM},\mathrm{BM},\mathrm{BN},\mathrm{CN},\mathrm{CK},\mathrm{DK},\mathrm{DL}$ によって囲まれてできる $8$ 角形の面積を求めよ．

ただし，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ．

正 $6$ 角形 $\mathrm{ABCDEF}$ の中心を $\mathrm O$ とし，正 $6$ 角形の $6$ 個の辺と，$\mathrm O$ と各頂点を結ぶ $6$ 個の線分の，計 $12$ 個の線分を考える．このとき，これらの線分を辺とする正三角形が $6$ 個できている．これらの線分のうちの幾つかを取り除いて，正三角形が $1$ つもできない状態を作りたい．そのような取り除き方は何通りか求めよ．

$6$ 個のチームが総当たり戦をおこなう．つまり，各チームは他のチームとそれぞれ $1$ 回ずつ試合をおこない勝敗を決める．ただし，各試合において引き分けはなく，いずれが勝つかは等確率であるとする．
このとき，$3$ 勝 $2$ 敗のチームがちょうど $3$ チームできる確率を求めよ．

答えは互いに素な自然数 $\eta,\zeta$ を用いて $\displaystyle\frac \eta\zeta$ と表されるので，$1$ 行目に $\eta$ を，$2$ 行目に $\zeta$ を記して答えよ．

AクラスとBクラスの生徒の合計は24人である．鉛筆とボールペンについて在庫が何本かあり，それらを生徒に配りたい．Aクラスの生徒に鉛筆を7本ずつ配ろうとすると最後の1人で足りなくなり，Bクラスの生徒にボールペンを6本ずつ配ろうとすると最後の1人で足りなくなる．そこで，逆にAクラスの生徒にボールペンを，Bクラスの生徒に鉛筆を配ると，クラス毎に同じ本数だけ，在庫をちょうど配りきることができた．(1人あたりに配った本数は，AクラスとBクラスでは同じとは限らない．)
Aクラスの生徒の人数としてありえる数を全て求めよ．

答えは，小さい順に空白を入れずカンマで区切って記入せよ．例えば，1と2と3があり得るなら
1,2,3
と答えよ．

$e$ は自然対数の底とする．座標平面上において
$\ x=t-e^{2t},\ y=2e^t+e^{-t}$
によってパラメータ表示される曲線について，$0\leqq t\leqq \log 2\sqrt2$ 部分の長さを求めよ．

答えは $\displaystyle\frac{\fbox{ (1) }\sqrt{\fbox{ (2) }}}{\fbox{ (3) }}$ の形で表されるので，空欄 $ (1),(2),(3)$ に当てはまる自然数をそれぞれ $1, 2, 3$ 行目に記して答えよ．ただし，最も簡単な形に直して答えること．

$e$ は自然対数の底とする．
$\ x=(2t-1)e^t,\ y=2(t^2-t+1)e^t$
でパラメータ表示される曲線について，$0\leqq t\leqq 1$ 部分の長さを求めよ．

答えは有理数 $a,b$ を用いて $a+be$ の形で表されるので，$a,b$ の値をそれぞれ $1, 2$ 行目に記して答えよ．
ここで，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
のように記入する．

凸 $5$ 角形の頂点に町が $1$ つずつ，合計 $5$ つある．これらの町のうち $2$ つを結ぶような真っ直ぐな路線を何本か自由に引く方法を考える．なお路線は交差してもよい．
このとき，路線によって全ての町が往来可能となるような方法の総数を求めよ．

$n$ を非負整数とする．番号 $0,1,2,\cdots,2^n-1$ が $1$ つずつ振られた $2^n$ 枚の札が箱に入っている．「箱から札を無作為に $1$ 枚取り出し，札の番号を記録してから箱の中に戻す」という操作を考える．
以下の問いに答えよ．ただし，自然数 $N$ に対し，$\displaystyle\frac N{2^m}$ が自然数となるような最大の非負整数 $m$ を $f(N)$ で表すとする．

$(1)$ 操作を $1$ 回おこない，記録した番号を $b$ とする．このとき，$f({}_{2^n}\mathrm C_b)$ の期待値を求めよ．

$(2)$ 操作を $2$ 回おこない，記録した番号を $a,b$ とする．このとき，$f({}_{2^n+a}\mathrm C_b)$の期待値を求めよ．

ただし，解答に際しては $n=10$ のときの値を答えよ．
答えの値は， $\displaystyle \xi+\frac{\eta}{\zeta}$ のように，整数部分 $\xi$ と小数部分 $\displaystyle\frac{\eta}{\zeta}$ に分けて求める．ここで，$\eta$ は非負整数，$\zeta$ は自然数で，$\eta$ と $\zeta$ は互いに素とする．
$(1)$ の $\xi,\eta,\zeta$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に，$(2)$ の $\xi,\eta,\zeta$ の値をそれぞれ $4,5,6$ 行目に記して答えとせよ．

サイコロを $3$ 回振って出た目を $a, b, c$ とする．このとき，$xy$ 平面上の $3$ 直線
$ax+2by+3c=0,\ 3bx+cy+2a=0,\ 2cx+3ay+b=0$
によって囲まれる三角形が存在する確率を求めよ．
答えは互いに素な自然数 $\eta,\zeta$ を用いて $\displaystyle\frac \eta\zeta$ と表されるので，$1$ 行目に $\eta$ を，$2$ 行目に $\zeta$ を答えよ．

$n$ を自然数として $\displaystyle\frac1n$ と表される数全体の集合を $A$ とする．また，$A$ の要素のうち，$7$ 進法で小数展開したとき，小数点以下が基本周期 $3$ の数字の列で表される循環小数となるもの全体の集合を $B$ とする．
このとき，$B$ の要素の総和を求めよ．答えは互いに素な自然数 $a, b$ により $\displaystyle\frac ab$ と表されるので，$1$ 行目に $a$，$2$ 行目に $b$ を答えよ．

正 $8$ 面体の各面を，辺で隣接する面が同じ色とならないように赤・青・黄の $3$ 色のうちのいずれかで自由に塗る．

$(1)$ 正 $8$ 面体の各面を区別するとき，塗り方の総数を求めよ．
$(2)$ 正 $8$ 面体の各面を区別せず，回転によって一致する塗り方を同一視するとき，塗り方の総数を求めよ．

$(1)$ の答えを $1$ 行目に，$(2)$ の答えを $2$ 行目に記入せよ．

数直線上の点 $\mathrm P$ は初め原点にある．サイコロを振り $1, 2$ が出たら正の向きに $2$ 進み，$3, 4, 5, 6$ が出たら負の向きに
$1$ 進むという操作を繰り返す．
$6$ 回の操作をおこなったとき，点 $\mathrm P$ が常に $x\geqq0$ の範囲にある確率を求めよ．
答えは互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac ab$ と表されるので，$1$ 行目に $a$ を，$2$ 行目に $b$ を答えよ．