解説
解答は，$\boldsymbol{BF=\dfrac{3}{2}}$
求めるべき値は，$3^{2}+2^{2}=\boldsymbol{13}$
$\triangle ABC$ の外接円と直線 $AD$ との交点で，$A$ でないものを $G$ とする．このとき，円周角の定理より，$\angle AGB=\angle ACB$．一方，$AB=AC$ より，$\angle ABC=\angle AGB$．よって，$\angle AGB=\angle ABC=\angle ABD$．ここに，接弦定理の逆と方べきの定理より，$AB^{2}=AD\cdot AG$．これより $AG=\dfrac{AB^{2}}{AD}=\dfrac{9}{5}$，$GD=AD-AG=\dfrac{16}{5}$．ところで，仮定より，$AD^{2}=AB^{2}+DE^{2}$ が成り立つから，
$$
AD^{2}=AD\cdot AG+DE^{2}\Leftrightarrow DE^{2}=AD\cdot\left(AD-AG\right)\Leftrightarrow DE^{2}=DA\cdot DG
$$したがって，接弦定理の逆より，
$$
\angle DEA=\angle DGE\Leftrightarrow 180^\circ-\angle ABC=\angle DGE\Leftrightarrow 180^\circ-\angle DGC=\angle DGE
$$ゆえに，$G$ は直線 $CE$ 上にある．このとき，$\angle DAE=\angle DEG-\angle DEF$ より，$DF=DE=4$．
さて，$GF=x$ とおくと，方べきの定理より，
$$
GA\cdot GD=GF\cdot GE\Leftrightarrow x\left(\dfrac{48}{\sqrt{91}}-x\right)=\dfrac{9}{5}\cdot\dfrac{16}{5}
$$これを解くと，$x=\dfrac{12\sqrt{13}}{5\sqrt{7}},\dfrac{12\sqrt{7}}{5\sqrt{13}}$ となる．ここに，内接四角形の定理より $\angle DGF=\angle ABC$ であり，$\angle ABC$ は二等辺三角形の底角であることから，鋭角である．したがって，$GD^{2}+GF^{2}-DF^{2}>0$ が成り立つことに留意する．$x=\dfrac{12\sqrt{13}}{5\sqrt{7}}$ の場合，$GD^{2}+GF^{2}-DF^{2}=\dfrac{864}{175}>0$ より，適する．一方，$x=\dfrac{12\sqrt{7}}{5\sqrt{13}}$ の場合，$GD^{2}+GF^{2}-DF^{2}=-\dfrac{864}{175}<0$ より，適さない．以上より，$x=GF=\dfrac{12\sqrt{13}}{5\sqrt{7}}$である．
さて，$DE=DF$ より $\angle DFE=\angle DFG=\angle DAF$ であり，これと $\angle FDG=\angle ADF$ から，二角相等より $\triangle DFG\sim\triangle DAF$．したがって，
$$
DF:DA=FD:AF\Leftrightarrow AF=\dfrac{DA\cdot FD}{DF}=\dfrac{3\sqrt{13}}{\sqrt{7}}
$$ここに，$BF=y$ とおく．$\triangle ADF$ にて余弦定理より，
$$
\cos\angle ADF=\dfrac{DA^{2}+DF^{2}-AF^{2}}{2\cdot DA\cdot DF}=\dfrac{17}{28}
$$一方，$\triangle ABF$ にて余弦定理より，
$$
\cos\angle ABF=\dfrac{BA^{2}+BF^{2}-AF^{2}}{2\cdot BA\cdot BF}=\dfrac{7y^{2}-54}{42y}
$$ここに，内接四角形の定理より $\angle ABF=180^\circ-\angle ADF\Leftrightarrow\cos\angle ABF=-\cos\angle ADF$ だから，
$$
\dfrac{54-7y^{2}}{42y}=\dfrac{17}{28}
$$これを解くと，$y=\dfrac{3}{2},-\dfrac{36}{7}$
$y>0$ より，$y=BF=\dfrac{3}{2} \square$
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