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hkd585 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 中学数学
2022年12月16日0:41 正解数: 2 / 解答数: 2 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0

解説

解答は,$\boldsymbol{BF=\dfrac{3}{2}}$
求めるべき値は,$3^{2}+2^{2}=\boldsymbol{13}$

$\triangle ABC$ の外接円と直線 $AD$ との交点で,$A$ でないものを $G$ とする.このとき,円周角の定理より,$\angle AGB=\angle ACB$.一方,$AB=AC$ より,$\angle ABC=\angle AGB$.よって,$\angle AGB=\angle ABC=\angle ABD$.ここに,接弦定理の逆と方べきの定理より,$AB^{2}=AD\cdot AG$.これより $AG=\dfrac{AB^{2}}{AD}=\dfrac{9}{5}$,$GD=AD-AG=\dfrac{16}{5}$.ところで,仮定より,$AD^{2}=AB^{2}+DE^{2}$ が成り立つから,
$$
AD^{2}=AD\cdot AG+DE^{2}\Leftrightarrow DE^{2}=AD\cdot\left(AD-AG\right)\Leftrightarrow DE^{2}=DA\cdot DG
$$したがって,接弦定理の逆より,
$$
\angle DEA=\angle DGE\Leftrightarrow 180^\circ-\angle ABC=\angle DGE\Leftrightarrow 180^\circ-\angle DGC=\angle DGE
$$ゆえに,$G$ は直線 $CE$ 上にある.このとき,$\angle DAE=\angle DEG-\angle DEF$ より,$DF=DE=4$.
さて,$GF=x$ とおくと,方べきの定理より,
$$
GA\cdot GD=GF\cdot GE\Leftrightarrow x\left(\dfrac{48}{\sqrt{91}}-x\right)=\dfrac{9}{5}\cdot\dfrac{16}{5}
$$これを解くと,$x=\dfrac{12\sqrt{13}}{5\sqrt{7}},\dfrac{12\sqrt{7}}{5\sqrt{13}}$ となる.ここに,内接四角形の定理より $\angle DGF=\angle ABC$ であり,$\angle ABC$ は二等辺三角形の底角であることから,鋭角である.したがって,$GD^{2}+GF^{2}-DF^{2}>0$ が成り立つことに留意する.$x=\dfrac{12\sqrt{13}}{5\sqrt{7}}$ の場合,$GD^{2}+GF^{2}-DF^{2}=\dfrac{864}{175}>0$ より,適する.一方,$x=\dfrac{12\sqrt{7}}{5\sqrt{13}}$ の場合,$GD^{2}+GF^{2}-DF^{2}=-\dfrac{864}{175}<0$ より,適さない.以上より,$x=GF=\dfrac{12\sqrt{13}}{5\sqrt{7}}$である.
さて,$DE=DF$ より $\angle DFE=\angle DFG=\angle DAF$ であり,これと $\angle FDG=\angle ADF$ から,二角相等より $\triangle DFG\sim\triangle DAF$.したがって,
$$
DF:DA=FD:AF\Leftrightarrow AF=\dfrac{DA\cdot FD}{DF}=\dfrac{3\sqrt{13}}{\sqrt{7}}
$$ここに,$BF=y$ とおく.$\triangle ADF$ にて余弦定理より,
$$
\cos\angle ADF=\dfrac{DA^{2}+DF^{2}-AF^{2}}{2\cdot DA\cdot DF}=\dfrac{17}{28}
$$一方,$\triangle ABF$ にて余弦定理より,
$$
\cos\angle ABF=\dfrac{BA^{2}+BF^{2}-AF^{2}}{2\cdot BA\cdot BF}=\dfrac{7y^{2}-54}{42y}
$$ここに,内接四角形の定理より $\angle ABF=180^\circ-\angle ADF\Leftrightarrow\cos\angle ABF=-\cos\angle ADF$ だから,
$$
\dfrac{54-7y^{2}}{42y}=\dfrac{17}{28}
$$これを解くと,$y=\dfrac{3}{2},-\dfrac{36}{7}$
$y>0$ より,$y=BF=\dfrac{3}{2} \square$


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解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

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 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
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 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
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解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

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ルール
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解答形式

半角英数字と下記の半角記号で答えてください。式中にスペースを含めないでください。

使える記号
  • 「+」加算
  • 「-」減算
  • 「*」乗算
  • 「/」除算(分数)
  • 「( )」かっこ
  • 「^」冪乗
  • 「!」階乗
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ルール
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制約
  • $1 \le m \le n$
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解答形式

半角英数と下記の半角記号で答えてください。

半角記号

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${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
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}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

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解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。