線分の積

問題文

下図のようにブロックがピラミッド状に積んであり，各ブロックに $1$ つずつ整数を割り当てていきます．このとき，最下段に並ぶブロックが $N$ 個であるとき，以下の条件を満たすように整数を割り当てることとします．
・ 最下段の左端のブロックには $1$ を，右端のブロックには $N−2$ を，また左から $i$ 番目のブロック $(2 \leq i \leq N−1)$ には $i−1$ をそれぞれ割り当てる．
・最下段以外のブロックには，そのすぐ下に位置する左右 $2$ つのブロックに割り当てられた数の積を割り当てる．

最も上にあるブロックに割り当てられた整数を $N−1$ で割った余りを $f(N)$ とします．このとき，$f(10^9 + 8) + f(10^9 + 404)$ の値を解答して下さい．ただし, $10^9 + 7, \ 5×10^8 + 3, \ 10^9 + 403, \ 5×10^8 + 201$ はいずれも素数であることは既知としてよいです．

解答形式

例）半角数字で解答して下さい.

問題

$0,a,b,c$ は相異なる実数で，$a^3b+b^3c+c^3a=ab^3+bc^3+ca^3$ を満たすとき，次の値を求めよ． $$\min_{a,b,c}\dfrac{(a^3+b^3+c^3)(a^4+b^4+c^4+50)}{a^5+b^5+c^5}$$

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

「オ」「タ」「チ」の $3$ 種類の文字で構成される長さ $n$ の文字列に対して，オオタチ度を，その文字列の中で連続する $4$ 文字が「オオタチ」となっているようなものの数と定義します．
　たとえば「チタタオオタチオタチタオオオタチ」のオオタチ度は $2$ で，「チタオオチタオオチタオオ」のオオタチ度は $0$ です．
　長さが $n$ で構成する文字が $3$ 種類のため，文字列としては $3^n$ 種類のものが考えられます．これらのオオタチ度の相加平均を $f(n)$ とします．
　$f(n)$ が正整数になる最小の $n$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$14^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を $a_1,\ldots,a_{16}$ とおき，$15^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を$b_1,\ldots,b_{16}$ とおきます．この二つの数列のスコアを
$$\sum_{k=1}^{16} \frac{a_k}{b_k}$$
で定めます．数列 $a,b$ の組として考えられるものは $(16!)^2$ 通りありますが，これらの組におけるスコアの（相加）平均を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて，$\dfrac{p}{q}$ と表されるため，$p+q$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

任意の二次関数$\ f\ $についてある$\ \theta \ (0\le \theta \le 2\pi)$があって,$\ xy$座標平面上で$\ y=f(x)\ $を$\ \theta \ $反時計回りに回転させたものを考える.$\ $これがある関数$\ g(x)\ $で$\ y=g(x)\ $と表せるときの$\ \theta\ $としてありうるものの総和を$\ S\ $とするとき$\ S\ $を超えない最大の整数を回答して下さい.

解答形式

整数で回答してください.

問題文

$f(n)=n ^{15}+21n^{10}+147n^5+343$ とします．
正整数 $n$ に対して， $f(n)$ が $5^m$ で割り切れるような最大の非負整数 $m$ を $g(n)$ と定めます．$10000$ 以下の正整数 $k$であって $g(n)=k$ を満たす正整数 $n$ が存在するような $k$ の総積を $3343$ で割った余りを解答してください．ただし，$3343$ は素数です．

解答形式

非負整数を解答してください．

問題文

自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します.
$$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記
=8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました
大変申し訳ありません

問題文

$10$人で輪になってじゃんけんをするとき，どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$4\times4$ のマス目の各マスに $3,2,6$ のいずれかを書き込む方法のうち，どの横の行に書かれた $4$ 数の積も立方数であり，どの縦の列に書かれた $4$ 数の積も立方数であるような書き込み方は何通りあるかを求めてください．
ただし，回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数えるものとします．また，$3,2,6$ のうち使わない数があっても構いません．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$64$個の球 $a_0,a_1,...a_{63}$それぞれを白色と黒色で塗り分ける方法で、以下の条件を満たすものは何通りありますか

・任意の整数 $i,j$ $(0\leqq i\leqq7,0\leqq j\leqq4)$ に対し、
$\lbrace a_{8i+j},a_{8i+j+1},a_{8i+j+2},a_{8i+j+3}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個
かつ、
　任意の整数 $k,l$ $(0\leqq k\leqq4,0\leqq l\leqq7)$ に対し、
$\lbrace a_{8k+l},a_{8k+l+8},a_{8k+l+16},a_{8k+l+24}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個

解答形式

半角数字で解答してください.

問題

$(1)$　集合 $S_n=\{nx\mid x^3\leqq 2x^2+5x-6\}$ に対し，整数 $k\notin\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ は何個あるか．
$(2)$　$3$ 桁の素数は $200$ 個未満か．

解答形式

命題は真なら $1$，偽なら $0$ として，$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．

問題文

以下の条件を全て満たす $20001$ 個の整数の組 $(a_0,a_1,…,a_{20000})$ を 階段状な組 と定義します．

• $a_0=a_{20000}=0$ ．
• $k=0,1,…,19999$ について $|a_{k+1}-a_k|=1$ ．

また，階段状な組 $A=(a_0,a_1,…,a_{20000})$ に対して スコア $S(A)$ を以下のように定めます．

• 以下の条件を全て満たす $1001$ 個の整数の組 $(x_0,x_1,…,x_{1000})$ の個数．
  $\quad$ ・ $k=0,1,…1000$ について $x_k$ は $0$ 以上 $20000$ 以下の 偶数 ．
  $\quad$ ・ $k=0,1,…999$ について $x_k\lt x_{k+1}$ ．
  $\quad$ ・ $a_{x_{1000}}=0$ ．

階段状な組全てに対してスコア $S(A)$ の総和を求め，その値が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．

解答形式

答えを入力してください．