No.03 分数式の最小値
問題
$0,a,b,c$ は相異なる実数で，$a^3b+b^3c+c^3a=ab^3+bc^3+ca^3$ を満たすとき，次の値を求めよ．$$\min_{a,b,c}\dfrac{(a^3+b^3+c^3)(a^4+b^4+c^4+50)}{a^5+b^5+c^5}$$
解説
まず，$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=0$ の左辺は因数定理から $(a-b)(b-c)(c-a)\neq 0$ で割り切れるので，その $1$ 次の商より $a+b+c=0$ となり，数列 $s_n=a^n+b^n+c^n$ を考えると，以下が成立する．$$s_1=0,\quad s_2=-\,2(ab+bc+ca)\gt 0,\quad s_3=3abc\neq 0$$ また，$s_2^2=4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ は $2s_4$ と等しくなり，$c$ を消去すると $s_5=-\,5ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)$ の値は $-\,5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)=\dfrac{5}{6}s_2s_3$ となる．よって，$\dfrac{s_3(s_4+50)}{s_5}=\dfrac{3}{5}\left(s_2+\dfrac{100}{s_2}\right)$ から相加・相乗平均の関係より $s_1=0,\ s_2=10$ の組，たとえば $(a,b,c)=(1+\sqrt 2,\,1-\sqrt 2,\,-\,2)$ のとき，上の最小値は $3\cdot 4=\boldsymbol{12}$ になる．
参考
交代式 $P(a,b,c)$ は $P(b,a,c)=-\,P(a,b,c)$ などより $(a-b)(b-c)(c-a)$ と対称式 $Q(a,b,c)$ の積に分解できて，問題の等式の値 $d$ は $s_1=0$ かつ $a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4=(a^2+ab+b^2)^2$ を踏まえて $d=-\,\dfrac{1}{4}s_2^2$ となる．
また，恒等式 $(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-\dfrac{1}{2}s_2x-\dfrac{1}{3}s_3$ の $x^n$ 倍に $x=a,b,c$ を代入して，それらの和をとると，漸化式 $s_{n+3}=\dfrac{1}{2}s_2s_{n+1}+\dfrac{1}{3}s_3s_n$ を導けるので，対称性を保ちつつ $s_4=\dfrac{1}{2}s_2^2$ と $s_5=\dfrac{5}{6}s_2s_3$ を得ることができる．
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