ダーツ

J_Koizumi_144 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2024年1月2日1:57 正解数: 4 / 解答数: 9 (正答率: 44.4%) ギブアップ数: 2

問題文

$p$を$0$以上$1$以下の実数とします.$A$と$B$の二人は,円形の的を用いて次のようなダーツ遊びをします.

  • $A,B,A,B,\dots$の順に,的に向かって交互に矢を投げる.
  • $A$は直前に$B$が投げた矢よりも中心に近い位置に矢が刺されば成功となる.ただし$1$回目は必ず成功とみなす.
  • $B$は直前に$A$が投げた矢よりも中心から遠い位置に矢が刺されば成功となる.
  • $n$回目に矢を投げたプレイヤーは,成功すると$p^n$点を得る.成功しなかった場合,その時点でゲームを終了する.

矢の刺さる位置が的の中で一様ランダムに決まると仮定するとき,ゲームが終了するまでに$A$が得られる得点の期待値を$f(p)$とし,$B$が得られる得点の期待値を$g(p)$とします.$f(p)=\dfrac{20}{21}$であるとき,$g(p)$の値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{b}{a}$と表せるので,$a+b$を解答してください.

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半角数字で入力してください.


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解答形式

半角整数値で解答して下さい.

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半角数字で入力してください.

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$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき,線分 $AI$ の長さは,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a + b$ を解答してください.

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を満たすものを考える。
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$n$を自然数とします。$n$個の複素数からなる組$z(n)=(z_1,z_2,z_3,……z_n)$について、$z(n)$の要素からの異なる$i$個の選び方全てについてそれら(選んだ$i$個の要素)の総積を求め、それら(全ての選び方)の総和を$S(z(n),i)$とします。ある組$z(2024)$が存在して$$S(z(2024),1)=S(z(2024),2)=S(z(2024),3)=……S(z(2024),2022)=0,S(z(2024),2024)=-2$$を満たすとき、$$(z_1)^{2024}+(z_2)^{2024}+(z_3)^{2024}+……+(z_{2024})^{2024}$$の値は実数になるのでそれを計算して答えてください。

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値を1行目に半角で入力してください。

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解答形式

1行目に分子
2行目に分母を書いてください
半角で、根号が含まれる場合
√(17) √(41+5√(19)) 2√(15)+3√(17)
このように括弧を付けてください
また、指数が小さい順、同じ次数のものは小さい数のものから並べてください
例:√10+√15+1 ³√15+√17+9

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解答形式

例)ひらがなで入力してください。


問題文

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線分 $\mathrm{OP}_1$ 上に、線分 $\mathrm{OO'}$ の長さが $d$ となるような点 $\mathrm{O'}$ をとる。ここで $0< d < 1$ は定数である。ピザを線分 $\mathrm{O'P}_1,\ldots,\mathrm{O'P}_n$ によって分割し、分けられた $n$ 個のピザのうち線分 $\mathrm{P_1P_2,P_2P_3,\ldots, P_nP_1}$ を含む部分の面積を、それぞれ $S_1,\ldots,S_n$ とする。

$S_i$ の 平均はもちろん $\displaystyle \bar{S}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_i=\frac{\pi}{n}$ である。では、$S_i$ の分散 $\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(S_i-\bar{S})^2$ はどうなるだろうか。以下の空欄を埋めよ。

(1)$\displaystyle \frac{\sigma ^2}{d^{\alpha}}$ が $d$ によらない定数となるような $\alpha$ の値は $\alpha=\fbox{ア}$ である。$n=12$ のとき、$\sigma^2$ を具体的に計算すると

$$
\sigma ^2 = \frac{\fbox{イ}-\sqrt{\fbox{ウ}}}{\fbox{エ}}d^{\fbox{ア}}
$$

である。

(2)極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{\beta}\sigma^2$ が $0$ でない有限の値に収束するような $\beta$ の値は $\beta=\fbox{オ}$ である。$\displaystyle d=\frac{1}{12\pi}$ のとき、その極限値は

$$
\lim_{n\to\infty}n^\fbox{オ}\sigma^2 = \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}}
$$

である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「オカキクケ」を半角で2行目に入力せよ。
なお、「ア」や「オ」には0や1が入ることもありうる。
また、分数はできるだけ約分された形で、根号の中身が最小となるように答えよ。
3行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

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下図のようにブロックがピラミッド状に積んであり,各ブロックに $1$ つずつ整数を割り当てていきます.このとき,最下段に並ぶブロックが $N$ 個であるとき,以下の条件を満たすように整数を割り当てることとします.
・ 最下段の左端のブロックには $1$ を,右端のブロックには $N−2$ を,また左から $i$ 番目のブロック $(2 \leq i \leq N−1)$ には $i−1$ をそれぞれ割り当てる.
・最下段以外のブロックには,そのすぐ下に位置する左右 $2$ つのブロックに割り当てられた数の積を割り当てる.

最も上にあるブロックに割り当てられた整数を $N−1$ で割った余りを $f(N)$ とします.このとき,$f(10^9 + 8) + f(10^9 + 404)$ の値を解答して下さい.ただし, $10^9 + 7, \ 5×10^8 + 3, \ 10^9 + 403, \ 5×10^8 + 201$ はいずれも素数であることは既知としてよいです.

解答形式

例)半角数字で解答して下さい.

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問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について,$\angle A$ (内角) の二等分線と $BC$,円 $ABC$ の交点をそれぞれ $D, M(\neq A)$,$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $E$,$AC$ の中点を $N$,円 $ENC$ と円 $ABC$ の交点を $X(\neq C)$,円 $XMD$ と $BC$ の交点を $P(\neq D)$,$PM$ の中点を $Q$ とします.
$$AB=9, AC=14, QN=8$$
であるとき,$BC$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ と表せるので,$a+b+c$ を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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問題文

$1$ 以上 $20^{24}$ 以下の整数 $N$ であって、次の条件を満たすものはいくつあるか。

条件: 何度でも微分可能な実数値関数 $f$ であって、ある実数 $x$ に対して $f(x)\ne0$ であり、さらに任意の実数 $x$ に対して $$\frac{f(x)}{N}=f\left(\frac{x-1}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)$$ を満たすようなものが存在する。

解答形式

条件を満たす $N$ の個数を、半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。