二等分2

問題文

関数 $f(x)$ を $f(x)=4x(1-x)$ で定義し、数列 $ \{ x_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
x_1=\sin^2{1}=0.708073418...,\ \ x_{n+1} = f(x_n) \ \ (n=1,2,...)
$$

で定める。このとき、 極限値 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log|f'(x_k)|$ を求めよ。

注: 角度の単位はラジアンを用いる。 $\log$ は自然対数を表すものとする。また、$\pi$ が無理数であることは認めてよい。

解答形式

求めた極限値を小数で表し、絶対値の小数第4位を四捨五入したものに、必要ならば負号をつけて答えよ。すべて半角で入力すること。
例1: $2\pi = 6.2831...$と解答する場合には、「6.283」と入力せよ。
例2: $-\pi = -3.1415...$と解答する場合には、「-3.142」と入力せよ。

また、必要なら以下の自然対数の値を用いよ。
$\log2 = 0.6931..., \log3=1.0986... ,\log7 =1.9459...$

問題文

実数 $a,b,c$ が $a^2+b^2+c^2\leqq 1$ を満たして動くとき、
座標空間上の点 $(a+b+c, ab+bc+ca, abc)$ が動く領域を $D$ とする。
以下の問いに答えよ。

⑴ $yz$ 平面に平行な平面 $\pi_t\colon \ x=t$ と $D$ が共有点を持つような実数 $t$ の範囲を求めよ。

⑵ $t$ が⑴で求めた範囲にあるとき、平面 $\pi_t$ と $D$ の共通部分を $E_t$ とする。
このとき、 ある $t$ の関数 $m(t), M(t)$ および $t$ と $y$ の関数 $p(t,y),q(t,y)$ が存在して、

$$
\begin{eqnarray}
E^1_t &=& \{ (x,y,z)|\ x=t,\ m(t) \leqq y \leqq M(t) \}\\
E^2_t &=& \{ (x,y,z)|\ x=t,\ z^2+p(t,y)z+q(t,y)\leqq0 \}
\end{eqnarray}
$$

とおけば $E_t = E^1_t \cap E^2_t $ と表せる。このような $m(t), M(t), p(t,y),q(t,y)$ を求めよ。

⑶ $E_t$ の面積を $S(t)$ とおく。$t$ が⑴で求めた範囲にあるとき、$S(t)$ を $t$ の式で表せ。 ただし、 $E_t$ がただ一点からなるときは $S(t)=0$ であるとする。

⑷ $D$ の体積 $V$ を求めよ。

解答形式

⑷のみ解答せよ。解は $V = \frac{\sqrt{(ア)}}{(イウ)}\pi$ と書ける。(ア)、（イウ）に当てはまる自然数をそれぞれ1,2行目に半角で入力せよ。ここでア,イ,ウの各文字には0から9までの整数のいずれかが入る。たとえば（ア）=3（イウ）=57 と解答する場合は、1行目に「3」、2行目に「57」と入力せよ。なお、根号の中身が最小になるように解答すること。

問題文

すべての複素数に対して定義され、複素数の値をとる関数 $f(z)$ は、すべての複素数 $z,w$ について

$$
f(z+w)=f(z)f(w)+zw　...(*)
$$

をみたすとする。以下の問いに答えよ。

⑴ すべての複素数 $z$ について $f(2)f(z)+z = f(1)f(z+1)+1$ が成り立つことを示せ。
⑵ $(*)$ をみたすような $f(z)$ をすべて求めよ。

解答形式

⑵を解答したうえで、以下の空欄ア～エに当てはまる0～9の整数を順に並べて4桁の半角数字「アイウエ」を入力せよ。根号の中身が最小になるように解答せよ。

$|f(5+11i)|$ のとりうる値のうち最大のものは$(アイ)$, 最小のものは$(ウ)\sqrt{(エ)}$ である。

問題文

$a_1=1,na_{n+1}-2(n+2)a_n=(n+1)(n(n+2)+2^{n+1})$を満たす数列${a_n}$の一般項を求めよ。

解答形式

一般項は一桁の自然数$a,b,c,d$を用いて、$a_n=(an^2+n-b)c^{n-1}-n(n+d)$と表されるので、$abcd$を解答してください。

例
$(a,b,c,d)=(1,2,3,4)$→$1234$を入力

問題文

数列 $ \{ a_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
a_1=1,\ a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n}\frac{8k-3}{4n^2-1}a_k\ (n = 1,2,...)
$$

で定める。$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{a_{n}}$ を求めよ。

解答形式

求める極限値は、ある有理数 $q$ を用いて $q \pi$ と表せる。この $q$ を小数で表し、小数第4位を四捨五入したものを入力せよ。すべて半角数字で入力すること。なお、もし $3/2=1.5$のようになる場合は、$1.500$ と入力せよ。

問題文

半径21の扇形に図のように線を引きました。青い三角形の面積が213のとき、赤い線分の長さを求めてください。

※高校数学カテゴリに入れてますが、中学数学範囲での綺麗な解法をTwitterにて頂きました。是非考えてみてください。

解答形式

解答は既約分数$\frac{\fbox{アイウ}}{\fbox{エ}}$となります。文字列「アイウエ」を解答してください。
ただし、$\fbox ア ～ \fbox エ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。

問題文

次の文章の空欄を埋めてください。ただし、以下の文章全てにおいて$x>0$とします。
$(1.1)$
$f(x)=x+4x^{-2}$の最小値を、微分を用いて求めよう。まず、
$$f'(x)=\fbox ア-\frac{\fbox イ}{x^3}$$である。$f'(x)$の符号は$x=\fbox ウ$の前後でのみ変化するから、$f(x)$は$x=\fbox ウ$で極値をとり、さらにそれが最小値であることが分かる。したがって、$f(x)$の最小値は$\fbox エ$である。

この問題は$(1.2)$に示すような解法が知られている。

$(1.2)$
相加相乗平均の関係式を用いて$f(x)$の最小値を求める。$a_1+a_2=1$を満たす$0$以上の実数$a_1,a_2$を用いて、
$$f(x)=a_1x+a_2x+\frac{4}{x^2}\ge3\left(a_1x\cdot a_2x\cdot\frac{4}{x^2}\right)^{\frac 13}=3(4a_1a_2)^{\frac 13}$$とする。いかなる$a_1,a_2$の組に対してもこの不等式は成立する。一方で、等号を成立させる$x$が存在するには、$a_1x=a_2x$でなければならないから、$a_1=a_2$となる。このとき、等号成立条件
$$a_1x=a_2x=\frac{4}{x^2}$$を満たす$x$は存在して、その値は$x=\fbox ウ$で、不等式の右辺の値は$\fbox エ$となり、最小値が得られる。

$(2)$
$g(x)=x+3x^{-1}+x^{-2}$の最小値を、$(1.2)$の解法に準じて求めよう。
$(1.2)$中の議論と同様に、等号成立条件を考えれば、同類項の係数（前問では$a_1,a_2$にあたる）が異なってはならないと言える。したがって、$3$つの自然数$b_1,b_2,b_3$を用いて、$$g(x)=b_1\cdot \frac{x}{b_1}+b_2\cdot\frac{3}{b_2x}+b_3\cdot\frac{1}{b_3x^2}$$と考えることにする（即ち、$b_1$個の$x/b_1$、$b_2$個の$3/b_2x$、$b_3$個の$1/b_3x^2$の和と考える）。相加相乗平均の関係式を適用したときに、累乗根の中身が定数となるには、$b_1=\fbox オb_2+\fbox カb_3$であればよい。等号成立条件は$$\frac{x}{b_1}=\frac{3}{b_2x}=\frac{1}{b_3x^2}$$である。中辺と最右辺の等式から、$x=b_2/(3b_3)$であり、これと最左辺・最右辺の等式から、$$\frac{b_2}{3b_3\left(\fbox オb_2+\fbox カb_3\right)}=\frac{9b_3}{b_2^2}$$整理して、$$b_2^3-\fbox{キク}b_2b_3^2-\fbox{ケコ}b_3^3=0$$この式を解くと、$b_2/b_3=\fbox サ/\fbox シ$を得られるので、$b_1:b_2:b_3=\fbox ス:\fbox セ:\fbox ソ$であれば良いことが分かる。これより、$$g(x)\ge\left(b_1+b_2+b_3\right)\left(\left(\frac{x}{b_1}\right)^{b_1}\left(\frac{3}{b_2x}\right)^{b_2}\left(\frac{1}{b_3x^2}\right)^{b_3}\right)^{\frac{1}{b_1+b_2+b_3}}=\frac{\fbox{タチ}}{\fbox ツ}$$であり、$x=\fbox テ$で等号が成立して、最小値となる。

解答形式（要注意!）

以下のこと（特に2つ目）に注意して解答してください。

・$\fbox ア～\fbox テ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。
・式の係数・分母の空欄$\left(\fbox オ・\fbox カ・\fbox シ・\fbox ツ\right)$には$1$が入る可能性もあります。
・$\fbox ス～\fbox ソ$は、$\fbox ス+\fbox セ+\fbox ソ$が最小となるようにしてください。また、分数は既約分数にしてください。

文字列アイウエを$1$行目
文字列オカキクケコを$2$行目
文字列サシスセソを$3$行目
文字列タチツテを$4$行目
に入力して解答してください。

問題文

実数$ a $ を $a=\sqrt[3]{1+\sqrt2} +\sqrt[3]{1-\sqrt2}$ で定める。以下の問いに答えよ。

⑴ $a^3+3a-2=0$ であることを示せ。また、$0<a<2$ を示せ。

⑵ $x$ について以下の恒等式が成り立つことを示せ。
$$
x^4+4x-3=(x^2+a)^2-2a\left(x-\frac{1}{a}\right)^2
$$

⑶ 4次方程式 $x^4+4x-3=0$ の実数解を $a$ を用いて表せ。

解答形式

⑶のみ解答せよ。解は2つ存在し、
$$
x= -\sqrt{\frac{ア}{イ}}\ \pm \ \sqrt{\sqrt{\frac{ウ}{エ}}-\frac{オ}{カ}}
$$

の形である。ア～カのそれぞれには1から9までの自然数または文字$a$が入る。
ア～カに当てはまる数字または文字を、順にすべて半角で入力せよ。
たとえばア＝２、イ＝７、ウ＝３、エ＝５、オ＝８、カ＝$a$ と解答する場合は、
「27358a」と入力せよ。

問題文

$$\int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{3} \frac{dx}{x^4-1}
=-\frac{1}{\fboxア}\log\fboxイ-\frac{\pi}{\fboxウ}$$

解答形式

$\fboxア\fboxイ\fboxウ$に入る数字をそれぞれ1,2,3行目に半角で入力してください。($\log$の中身は最も簡単な形にしてください)

問題文

複素数平面上で点 $\mathrm{P}(z)$ と点 $\mathrm{Q}(w)$ が

$$
|z+1|=1\\
|z-w| = |z|
$$

をみたして動くとき、点 $\mathrm{Q}(w)$ が動く領域を $D$ とする。$D$ の面積 $S$ を求めよ。

解答形式

求めた値を小数で表し、小数第3位を四捨五入して小数第2位まで答えよ。
たとえば $S= \pi =3.14159265......$と解答する場合には、「3.14」と入力せよ。
すべて半角で入力すること。

問題文

正方形の中に図のように線を引きました。赤、青の線分の長さがそれぞれ1,7のとき、緑の線分の長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

数列 $ \{ a_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
a_1=2,\ a_2=3,\ a_{n+1} = \max_{1 \leqq k \leqq n} \{ (n-k+1)a_k \}\ (n \geqq 2)
$$

で定める。$ \{ a_n \} $ の一般項を求め、さらに $\log_{3}{(a_{6062})}$ の値を求めよ。

解答形式

$\log_{3}{(a_{6062})}$ はある自然数となるので、その値を半角数字で答えよ。