E

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$\angle A$ (内角) の二等分線と $BC$，円 $ABC$ の交点をそれぞれ $D, M(\neq A)$，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $E$，$AC$ の中点を $N$，円 $ENC$ と円 $ABC$ の交点を $X(\neq C)$，円 $XMD$ と $BC$ の交点を $P(\neq D)$，$PM$ の中点を $Q$ とします．
$$AB=9,　AC=14,　QN=8$$
であるとき，$BC$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

下図で、AB=AF=BC=CD=EB、$∠$EAB=80°、$∠$ABC=40°です。
$∠$FDEの大きさは何度ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

凸四角形$ABCD$は$\angle{BAC}$$=$$12^\circ$$,$$\angle {CAD}$$=$$30^\circ$$,$$\angle{ACD}$$=$$24^\circ$$,$$AB=CD$を満たします.このとき、$\angle{ADB}$の値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$度となるので、積$ab$の値を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし、$AH$ と $BC$ の交点を $D$、$BC$ の中点を $M$ とすると、$B,D,M,C$ がこの順に並びました。$AH$ を直径とする円と $AM$ の交点のうち $A$ でない方を $X$ とすると、$∠CXM=∠BAM$ でした。$BD=23,DM=42$ のとき、三角形 $ABC$ の面積を解答してください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

三角形$ABC$は$|AB|=84$、$|BC|=|CA|=72$を満たす二等辺三角形です。この三角形の垂心を$H$、頂点$A, B, C$から延びる垂線の足をそれぞれ$D,E,F$と置きます。さらに、直線$CF$上に$|DF|=|DG|$を満たす$F$でない点$G$をとります。この時、四角形$DFEG$の面積は互いに素な正整数$p,r$と平方因子を持たない数$q$を用いて$\dfrac{p\sqrt{q}}{r}$と表されるので、$p+q+r$を解答してください。ただし、$|AB|$で$AB$間の距離を表すものとします。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$，外心を $O$ とする．直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし，直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると，以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき，線分 $AI$ の長さは，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．

問題文

正整数 $N$ が 素直 であるとは以下の条件をともに満たすことを言います．

• $N$ は十進法表記で $6$ 桁であり，各桁に $0$ も $9$ も含まない数である．
• $N$ の上 $i$ 桁目を $a_i$ とするとき，「$a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_6$」もしくは「$a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_6$」のいずれかが成り立つ．

素直な整数の総和を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とし，辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ をとると，以下が成立した：

$$\angle{DME}=90^{\circ}，AD=6，DB=2，AE=7，EC=3$$

このとき，辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

非負整数で解答してください．

問題文

ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が，その三角形の頂点のうちの一つと，その三角形の外心，垂心を通りました．この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

半径が $4$ の円 $\Omega$ 上に2点 $A, B$ を直径をなさないようにとり，$A, B$ における $\Omega$ の接線の交点を $C$ とします．三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，3点 $A, C, H$ を通る円と $\Omega$ の交点を $D$ とすれば，$AB=CD$ が成り立ちました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．

追記：$D\neq A$ とします．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB=2,BC=3,CA=4$ なる $\triangle ABC$ について，ナーゲル点を $N$，ジュルゴンヌ点を $G$ とするとき，$NG$ は互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と書けるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

$a+b+c$ を解答してください．

問題文

$$\angle{ADB}=\angle{ADC}=\angle{CDB}=90^°$$なる四面体 $ABCD$ の外接球に関して、体積を $V$ 表面積を $S$ としたとき、非負整数 $p$ を用いて、$V=p\pi,S=p\pi$ が成り立ちました。
このとき、四面体 $ABCD$ の体積の最大値の2乗を求めてください。

解答形式

半角数字で入力して下さい。