OMCっぽい問題3（A分野・多分200点）

問題文

$$
x+ \frac{1}{x} =1
$$
のとき以下の値を求めよ
$$
\sum_{k=1}^{10^m}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad
$$
ただしmは自然数である。

回答形式

半角数字で答えてください。
また、複数個の値を取りうる場合は値の小さい順に改行して入力してください。

問題文

$$a,bは負でない整数とする。$$$$このときa!+b!=(a+b)!$$$$を満たす組(a,b)を全て求めよ。$$

解答形式

組(a,b)の個数を入力してください。

問題文

図のような展開図を組み立てできる立体の体積は何㎤ですか。ただし、図は辺の長さが等しい正三角形と正方形と正六角形を組み合わせた図形で、正方形の面積は18㎠です。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

$$
x+ \frac{1}{x} =-1
$$
のとき以下の値を求めよ
$$
\sum_{k=1}^{m^{3}-7m+9}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad
$$
ただしmは自然数である。

nを素数、o,kを正の整数とする。

2ⁿ+5⁰=k²

をみたすn,o,kの組(n,o,k)をすべて求めよ。

答えとなるn,o,pの値の総和を回答してください

問題文

$n^2-n+1$が平方数となるような非負整数$n$を全て求めよ。

解答形式

$n$を小さい順に改行して半角で解答して下さい。
例)$n=3,7,9$の場合
3
7
9
と解答して下さい。

問題文

$504$と自然数$x$との最大公約数を$g$, 最小公倍数を$l$とする。$504$の正の約数の個数を$n$としたとき、$g$の正の約数の個数は$\frac{n}{3}$、$l$の正の約数の個数は$\frac{9n}{2}$であった。$x$の素因数が$2,3,5,7$であるとき、$l$の値を求めよ。

解答形式

半角算用数字で答えてください。

問題文

$x$ についての方程式 $xe^{2\sqrt{x}}=9(\log{3})^2$ の実数解を求めよ。

解答形式

解をすべて答えてください。値の小さい順に1行目から入力してください。
なお，解答にあたって，特殊な数式は次のように入力してください。

対数：$\log_n{m}$ = \log_{n}{m}, $\log{m}$ = \log{m}
指数（$\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$もすべて指数として入力してください）：$n^{m}$ = n^{m}
分数：$\frac{a}{b}$ = \frac{a}{b}

問題文

$n^4+4n^2-38n+69$ が平方数となるような正整数 $n$ の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

正整数 $x, y$ が
$$x^{11}y^{10} = 2^{(2^{1110})} \cdot 3^{(3^{1110})} \cdot 5^{(5^{1110})} \cdot 37^{(37^{1110})} \cdot 1110$$
をみたすとき，$x$ のとり得る最小の値を求めて下さい．

解答形式

半角英数にし、答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．

余談

OMCB020-E(URL : https://onlinemathcontest.com/contests/omcb020/tasks/9732)
のアレンジ，というよりかはこのコンテストのTester期間中に運営さんに改題を提案したときの問題です．
4bにそぐわないとしてOMCへの使用には至りませんでしたが，せっかくなのでよければ解いてみてください．

$
f(x)= 2^{2^{x}x}-1
$
とする。このとき、
$
f(1)+f(2)+f(3)+・・・+f(2024)=A
$
とすると、Ａの一の位の数字は何になるか。

問題文

100をe進数で表記すると何桁になるか。(整数部分のみ)

解答形式

半角数字+「桁」という文字(例:1桁)