$\triangle ABC$において,内心を$I$,重心を$G$とし,$I$ から$BC$,$CA$,$AB$に下ろした垂線の足をそれぞれ$D$,$E$,$F$とすると,$G$は$EF$上にあり,$IG=1$,$BD:DC=3:5$を満たした.このとき,$\triangle ABC$の周長の$2$乗を求めよ.
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので,$a+b$を半角数字で解答してください.
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鋭角三角形$ABC$において,外心を$O$とし,$\angle OAB$の二等分線と$BC$の交点を$D$とすると,$BD=OD$,$\angle AOD >90^\circ$を満たした.$AO=7$,$AD=10$であるとき,$BC$の長さを求めよ.
求める値は正整数$a,b$を用いて$a+\sqrt b$と表せるので,$a+b$を半角数字で解答してください.
$\angle B=90^{\circ}$なる直角三角形$ABC$において,$AC$の中点を$M$とすると,$BC$上(端点を除く)に$AB=MP=MQ$なる異なる$2$点$P$,$Q$をとることができ,$B$,$P$,$Q$,$C$はこの順にあった.また,$B$を直線$MQ$について対称移動した点を$X$とすると,$AX=11$,$PX=18$を満たした.このとき,$BC$の長さの$2$乗を求めよ.
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せるので,$a+b$を半角数字で解答してください.
外接円の直径が$5$,$AB:AD=5:7$の内接四角形$ABCD$において,$\triangle ABC$の内心,$B$傍心をそれぞれ$I_1$,$I_B$とし,$\triangle ADC$の内心,$D$傍心をそれぞれ$I_2$,$I_D$とすると,$I_1$,$I_2$,$I_B$,$I_D$は同一円周上にあり,$I_1I_B\cdot I_2I_D=40$を満たした.$AC$の中点を$M$としたとき,$BM+DM$を求めよ.
凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします. $$ \begin{cases} AB=BC=CD=DE \\\\ 2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\ 2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ} \end{cases} $$ このとき,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので,$a+b$ を答えてください.
半角数字で解答してください.
鋭角三角形 $ABC$ について, 線分 $BC$ 上に点 $D$ を取り, 三角形 $ABD$ の垂心を $H_1$, 三角形 $ADC$ の垂心を $H_2$ とします. すると, $BD = DC = H_1 H_2 = 10$, $H_1 D : H_2 D = 2 : \sqrt{10}$ が成立しました. このとき, 三角形 $ABC$ の面積としてあり得る値の総積を解答してください.
答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.
$8\times 8$のマス目に$1\times 2$のタイルと$1\times 1$のタイルを隙間なく並べる方法のうち,以下の条件を満たすものを考えます.
このような並べ方のうち,横向きの$1\times 2$のタイルの個数が最大となるものは何通りありますか? ただし,回転や裏返しによって一致する並べ方は区別します.また,$1\times 2$のタイルが横向きであるとは,長辺が行に平行であることを指します.
半角数字で入力してください.
問題の数値設定に不備があったため、数値設定を変更します。申し訳ありません。(三角形 $DEH$ の面積を $9$ から $3$ に変更しました。)
鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$, 外心を $O$ とします. また, 直線 $BH$ と線分 $AC$ の交点を $D$, 直線 $CH$ と線分 $AB$ の交点を $E$ とします. そして, 線分 $DE$ の中点を $N$, 直線 $HN$ と直線 $AO$ の交点を $X$ とします. このとき, $A, X, O$ はこの順に並び, $AX = 3, XO = 5$ が成立しました. また, 三角形 $DEH$ の面積が $3$ であったとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
答えは, 正整数 $a, b$ を用いて $\sqrt{a} + b$ と表されるので, $a+b$ の値を半角数字で解答してください.
$4$ 点 $A,B,C,D$ は同一円周上にあり,その内部(辺上を含まない)に点 $P$ をとります. また,線分 $AP,BP,CP,DP$ の垂直二等分線をそれぞれ $a,b,c,d$ とします. $a,b$ の交点を $E$,$b,c$ の交点を $F$,$c,d$ の交点を $G$,$d,a$ の交点を $H$ とすると,$4$ 点 $E,F,G,H$ は同一円周上にあり,四角形 $EFGH$ の二本の対角線は $P$ で交わりました. そして,以下が成立しました: $$HP=5,\quad HE=11,\quad EF=16$$ このとき,$HG$ の長さの二乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので,$a+b$ を解答してください.
非負整数を半角で入力してください.
【補助線主体の図形問題 #115】 今週の図形問題です。今回は重めの問題にしてみました。とはいえ、補助線が活躍するのはいつも通りです。じっくり腰を据えて挑戦してください!
${ \def\cm{\thinspace \mathrm{cm}} }$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。 (例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$ 入力を一意に定めるための処置です。 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。
正六角形 $ABCDEF$ の線分 $AC, BC, DE$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ を取ったところ, $PQ \perp BC, PR \perp DE, \angle QAR=60^\circ$ が成立しました. また, 三角形 $APQ$ の外心を $O$, 三角形 $APR$ の外心を $O^\prime$ とし, 三角形 $AOO^\prime$ の外接円と三角形 $APQ$ の外接円の交点を $X( \neq A)$, 三角形$AOO^\prime$ の外接円 と三角形 $APR$ の外接円の交点を $Y( \neq A)$ とすると, $BY=7$ が成立しました. このとき, 線分 $DX$ の長さを求めて下さい.
答えは最大公約数が $1$ である正整数 $a,b, c$ によって $\cfrac{\sqrt{b}-c}{a}$ と表されるため, $a+b+c$ の値を半角数字で解答してください.
下図で、三角形ABCは直角二等辺三角形、三角形BCDは直角三角形です。CDの長さが3cm、DBの長さが11cmのとき、三角形ABCの面積は何㎠ですか。
半角数字で回答してください。 例)10
$$\angle{ADB}=\angle{ADC}=\angle{CDB}=90^°$$なる四面体 $ABCD$ の外接球に関して、体積を $V$ 表面積を $S$ としたとき、非負整数 $p$ を用いて、$V=p\pi,S=p\pi$ が成り立ちました。 このとき、四面体 $ABCD$ の体積の最大値の2乗を求めてください。
半角数字で入力して下さい。