$\triangle ABC$において,内心を$I$,重心を$G$とし,$I$ から$BC$,$CA$,$AB$に下ろした垂線の足をそれぞれ$D$,$E$,$F$とすると,$G$は$EF$上にあり,$IG=1$,$BD:DC=3:5$を満たした.このとき,$\triangle ABC$の周長の$2$乗を求めよ.
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表されるので,$a+b$を半角数字で解答してください.
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$\angle B=90^{\circ}$なる直角三角形$ABC$において,$AC$の中点を$M$とすると,$BC$上(端点を除く)に$AB=MP=MQ$なる異なる$2$点$P$,$Q$をとることができ,$B$,$P$,$Q$,$C$はこの順にあった.また,直線$MQ$について$B$と対称な点を$X$とすると,$AX=11$,$PX=18$を満たした.このとき,$BC$の長さの$2$乗を求めよ.
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので,$a+b$を半角数字で解答してください.
鋭角三角形$ABC$において,外心を$O$とし,$\angle OAB$の二等分線と$BC$の交点を$D$とすると,$BD=OD$,$\angle AOD >90^\circ$を満たした.$AO=7$,$AD=10$であるとき,$BC$の長さを求めよ.
求める値は正整数$a,b$を用いて$a+\sqrt b$と表せるので,$a+b$を半角数字で解答してください.
外接円の直径が$5$,$AB:AD=5:7$の内接四角形$ABCD$において,$\triangle ABC$の内心,$B$傍心をそれぞれ$I_1$,$I_B$とし,$\triangle ADC$の内心,$D$傍心をそれぞれ$I_2$,$I_D$とすると,$I_1$,$I_2$,$I_B$,$I_D$は同一円周上にあり,$I_1I_B\cdot I_2I_D=40$を満たした.$AC$の中点を$M$としたとき,$BM+DM$を求めよ.
凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします. $$ \begin{cases} AB=BC=CD=DE \\\\ 2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\ 2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ} \end{cases} $$ このとき,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので,$a+b$ を答えてください.
半角数字で解答してください.
$AB<AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について垂心を $H$ とし,三角形 $ABC$ の外接円と直線 $BH$ ,直線 $CH$ の交点をそれぞれ $(D\neq B),E(\neq C)$ とする.半直線 $DE$ と直線$BC$の交点を$P$とすると,三角形 $AEH$ の外接円は直線 $HP$ に点 $H$ で接し, $PH=3,AE=4$ であった.このとき線分 $AB$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください. Writer: MrKOTAKE
鋭角三角形 $ABC$ について, 線分 $BC$ 上に点 $D$ を取り, 三角形 $ABD$ の垂心を $H_1$, 三角形 $ADC$ の垂心を $H_2$ とします. すると, $BD = DC = H_1 H_2 = 10$, $H_1 D : H_2 D = 2 : \sqrt{10}$ が成立しました. このとき, 三角形 $ABC$ の面積としてあり得る値の総積を解答してください.
答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について,$AB=AD$ なる線分 $BC$ (端点を含まない) 上の点を $D$,円 $ABD$ と線分 $AC$ の交点を $E(\neq A)$,円 $BEC$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする. 直線 $BF$ と円 $FDC$ が再び交わる点を $P$ とすると,$AP\parallel BC$ かつ $PE=5, BC=12$ が成立したとき,$AB$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください. Writer: pomodor_ap
$AB=5, AC=8, \angle A=60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について,外接円の $A$ を通らない弧 $BC$ の中点を $M$ とする.相異なる $4$ 点 $P,Q,B,C$ がこの順で同一直線上に並び,$\angle APB:\angle MPB=\angle AQB:\angle MQB=3:1$ が成立した.線分 $PQ$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.
$8\times 8$のマス目に$1\times 2$のタイルと$1\times 1$のタイルを隙間なく並べる方法のうち,以下の条件を満たすものを考えます.
このような並べ方のうち,横向きの$1\times 2$のタイルの個数が最大となるものは何通りありますか? ただし,回転や裏返しによって一致する並べ方は区別します.また,$1\times 2$のタイルが横向きであるとは,長辺が行に平行であることを指します.
半角数字で入力してください.
問題の数値設定に不備があったため、数値設定を変更します。申し訳ありません。(三角形 $DEH$ の面積を $9$ から $3$ に変更しました。)
鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$, 外心を $O$ とします. また, 直線 $BH$ と線分 $AC$ の交点を $D$, 直線 $CH$ と線分 $AB$ の交点を $E$ とします. そして, 線分 $DE$ の中点を $N$, 直線 $HN$ と直線 $AO$ の交点を $X$ とします. このとき, $A, X, O$ はこの順に並び, $AX = 3, XO = 5$ が成立しました. また, 三角形 $DEH$ の面積が $3$ であったとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
答えは, 正整数 $a, b$ を用いて $\sqrt{a} + b$ と表されるので, $a+b$ の値を半角数字で解答してください.
こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。
正六角形 $ABCDEF$ の線分 $AC, BC, DE$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ を取ったところ, $PQ \perp BC, PR \perp DE, \angle QAR=60^\circ$ が成立しました. また, 三角形 $APQ$ の外心を $O$, 三角形 $APR$ の外心を $O^\prime$ とし, 三角形 $AOO^\prime$ の外接円と三角形 $APQ$ の外接円の交点を $X( \neq A)$, 三角形$AOO^\prime$ の外接円 と三角形 $APR$ の外接円の交点を $Y( \neq A)$ とすると, $BY=7$ が成立しました. このとき, 線分 $DX$ の長さを求めて下さい.
答えは最大公約数が $1$ である正整数 $a,b, c$ によって $\cfrac{\sqrt{b}-c}{a}$ と表されるため, $a+b+c$ の値を半角数字で解答してください.
鋭角三角形 $ABC$ に対し,重心と垂心をそれぞれ $G,H$ とし,直線 $GH$ と辺 $AB,AC$ との交点をそれぞれ $D,E$ とし,直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $F$ としたところ,$DH:HG=4:3,BF:FC=3:7$ となりました. ${AD}^2:{AE}^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので,$a+b$ の値を求めてください.