第1回琥珀杯 大問4

Kohaku 採点者ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年2月12日0:00 正解数: 7 / 解答数: 7 (正答率: 100%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「第1回琥珀杯」の問題です。

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。

解答形式

a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。
(例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合
→1 2 3 4 5


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解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。

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備考

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\begin{aligned}
&a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\
&b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots)
\end{aligned}

(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ.
(2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.

解答形式

(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)

備考

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${}$ 解答は指定の積をそのまま入力してください。
(例)105 → $\color{blue}{105}$

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備考

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指数($\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$もすべて指数として入力してください):$n^{m}$ = n^{m}
分数:$\frac{a}{b}$ = \frac{a}{b}