$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。
a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。 (例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合 →1 2 3 4 5
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円$O_1,O_2,O_3$は点$O$を中心とする同心円で、この順に半径が小さい。円$O_1,O_2,O_3$の周上に、それぞれ点$A,B,C$をとるとき、$△ABC$の内部または周上に点$O$が含まれる確率を求めよ。
0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。
正三角形$ABC$の内部の1点$P$は、$AP=5,BP=4,CP=3$を満たす。この正三角形の面積を求めよ。
互いに素な正整数$a,b$と平方因子をもたない正整数$c$、及び正整数$d$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}+d$と表せるので、$a+b+c+d$を解答してください。
$AB=DC=2,AD=3,AC=\sqrt{17}$を満たす等脚台形$ABCD$の面積を求めよ。
互いに素な正整数$a,b$と平方因子を持たない正整数$c$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}$と表せるので、$abc$を解答してください。
正整数$n$の値を無作為に定めるとき、$\sqrt{n}^\sqrt{n}$が有理数となる確率を求めよ。
図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。
四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。 例)$\frac{52}{3}$→17.33
10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください.
本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.
$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める. \begin{aligned} &a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\ &b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots) \end{aligned}
(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ. (2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.
(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)
本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.
${}$ 西暦2025年問題第5弾です。今回は覆面算風味の整数問題です。けれども、独特な解き心地があります。単一解であるのを前提にして構いませんので、じっくりと味わってください。
${}$ 解答は指定の積をそのまま入力してください。 (例)105 → $\color{blue}{105}$
三角形 $T$ の一つの辺の長さは平方数で,残りの辺の長さは素数であるとする.また,$T$ の面積は整数で,外接円の直径は素数であるとする.$T$ の各辺の長さを求めよ.
$T$の3辺の長さの総和としてありうる値の総和を解答してください。(論証は解説を参照してください。)
2018年3月の大学への数学「読者と作るページ」に掲載された問題です。
$n$を正の整数とします。連続する$10$個の整数の積$n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+9)$が$2025^3$で割り切れるような$n$としてあり得る最小のものを求めてください。
$n$の値を半角で入力してください。
にゃんこ大戦争には,$10$ 体の基本キャラが存在します.そのキャラを図鑑と同じ順番で,$1, 2, \ldots , 10$ と番号を付けます.今、$1$ 番のキャラ(ネコ)が $512$ 体一列に並んでおり,以下の操作を $511$ 回行います.
最終的に,番号が $10$ であるキャラ(ネコ超人)が残るような、操作の行い方(順番)は $N$ 通りあります.$N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.
答えは正の整数値になるので、それを半角数字で解答してください。
$x$ についての方程式 $xe^{2\sqrt{x}}=9(\log{3})^2$ の実数解を求めよ。
解をすべて答えてください。値の小さい順に1行目から入力してください。 なお,解答にあたって,特殊な数式は次のように入力してください。
対数:$\log_n{m}$ = \log_{n}{m}, $\log{m}$ = \log{m} 指数($\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$もすべて指数として入力してください):$n^{m}$ = n^{m} 分数:$\frac{a}{b}$ = \frac{a}{b}