H

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．

• 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
• 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
• 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
• 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．

このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．

$$AH=17 , AO=11$$

のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．

問題文

ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が，その三角形の頂点のうちの一つと，その三角形の外心，垂心を通りました．この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

等式
$$3kp-35p=q^2+2^p$$を満たすような素数 $p,q$ と正整数 $k$ の組 $(p,q,k)$ を考えます．$p+q+k$ として考えられる値のうち小さい方から $5$ つの総和を解答してください．　

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

4次方程式 $x^4-4x^3-21x^2-8x+4=0$ の4つの相異なる実数解を，小さいものから順に $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ とします．このとき，以下の値を求めてください：

$$\displaystyle\frac{1}{a_{1}^2-a_{1}a_{2}+a_{2}^2}+ \displaystyle\frac{1}{a_{3}^2-a_{3}a_{4}+a_{4}^2} $$

解答形式

互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする、半径 $1$ の円の形をしたピザがある。ピザの周上には、等間隔に点 $\mathrm{P}_1,\ldots,\mathrm{P}_n$ が並んでいる。

線分 $\mathrm{OP}_1$ 上に、線分 $\mathrm{OO'}$ の長さが $d$ となるような点 $\mathrm{O'}$ をとる。ここで $0< d < 1$ は定数である。ピザを線分 $\mathrm{O'P}_1,\ldots,\mathrm{O'P}_n$ によって分割し、分けられた $n$ 個のピザのうち線分 $\mathrm{P_1P_2,P_2P_3,\ldots, P_nP_1}$ を含む部分の面積を、それぞれ $S_1,\ldots,S_n$ とする。

$S_i$ の 平均はもちろん $\displaystyle \bar{S}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_i=\frac{\pi}{n}$ である。では、$S_i$ の分散 $\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(S_i-\bar{S})^2$ はどうなるだろうか。以下の空欄を埋めよ。

（１）$\displaystyle \frac{\sigma ^2}{d^{\alpha}}$ が $d$ によらない定数となるような $\alpha$ の値は $\alpha=\fbox{ア}$ である。$n=12$ のとき、$\sigma^2$ を具体的に計算すると

$$
\sigma ^2 = \frac{\fbox{イ}-\sqrt{\fbox{ウ}}}{\fbox{エ}}d^{\fbox{ア}}
$$

である。

（２）極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{\beta}\sigma^2$ が $0$ でない有限の値に収束するような $\beta$ の値は $\beta=\fbox{オ}$ である。$\displaystyle d=\frac{1}{12\pi}$ のとき、その極限値は

$$
\lim_{n\to\infty}n^\fbox{オ}\sigma^2 = \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}}
$$

である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「オカキクケ」を半角で2行目に入力せよ。
なお、「ア」や「オ」には0や1が入ることもありうる。
また、分数はできるだけ約分された形で、根号の中身が最小となるように答えよ。
3行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題文

$\triangle{ABC}$ について直線 $BC$ 上に $W,B,C,E$ の順と並ぶように点 $W,E$ を取ると以下のことが成立しました．

• $AC=35, AW=45,BW=36$
• $BC:CE=1:8$
• $\triangle AWC$ は鈍角三角形であり，その面積は$72\sqrt{111}$

このとき $\triangle{BAE}$ の外心を $O$ とすると，互い素な正整数 $a,b$ を用いて，
$$\triangle{BAE}:\triangle{WAO}=a:b$$
と面積比が表せるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

正の実数に対して定義され，正の実数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の実数 $x,y$ に対して，
$$
f(x)f(yf(x))=2024f(x+2024y)
$$
を満たすもののうち， $f(1)$ が整数になるものについて，$f(2)$ の整数部分としてありうる数はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB≠AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の内心を$I$とする。三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接している。$D$を通り$EF$に垂直な直線と$\omega$の交点のうち,$D$でない方を$G$とし,直線$AG$と$\omega$の交点のうち,$G$でない方を$H$とする。さらに,三角形$BHF$と三角形$CHE$の外接円の交点のうち,$H$でない方を$J$とし,直線$HJ$と直線$DI$の交点を$X$とすると以下が成立した。
$$
DX=\sqrt{1122}　AH||DX　DG=22
$$
このとき,$AX^{2}$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので,$a+b$の値を解答して下さい。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

問題文

$1$ 以上 $20^{24}$ 以下の整数 $N$ であって、次の条件を満たすものはいくつあるか。

条件: 何度でも微分可能な実数値関数 $f$ であって、ある実数 $x$ に対して $f(x)\ne0$ であり、さらに任意の実数 $x$ に対して $$\frac{f(x)}{N}=f\left(\frac{x-1}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)$$ を満たすようなものが存在する。

解答形式

条件を満たす $N$ の個数を、半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり，$BC$ の中点を $M$ とします．また，直線 $AB$ に $B$ で接し $M$ を通る円を $\Gamma_1$ ，直線 $AC$ に $C$ で接し $M$ を通る円を $\Gamma_2$ とし，直線 $AM$ と $\Gamma_1,\Gamma_2$ との交点のうち $M$ でない方をそれぞれ $D,E$ ，$DE$ の中点を $F$ ，$\Gamma_1$ と $\Gamma_2$ の交点を $G$ とした時，以下が成り立ちました．
$$
AM:MG=3:1,\quad AC=24,\quad CF=10
$$
この時，$BC^2$ の値を求めてください．

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

$AB=AC$ なる三角形 $ABC$ について，線分 $AB$ 上に点 $D$ をとり，点 $A$ から円 $DBC$ に引いた接線と円 $DBC$ の接点のうち，直線 $DC$ について点 $B$ 側にあるものを $T$ とします．円 $ATC$ と線分 $AB, BC$ の交点をそれぞれ $E(\neq A), P(\neq C)$ とし，直線 $DT$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とすると，直線 $AB$ は $\angle PAQ$ を二等分しました．$AD=7, DC=13$ のとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を求めてください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の正整数とします．正 $n$ 角形から $3$ 頂点選んでそれらを $A,B,C$ としたとき，$\angle ABC =44.5^\circ$ となりました．$n$ として考えられる最小の値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．