nを一桁の自然数とする。xについての多項式、
∫(0→x) (t^3 + {1/√(n-2)(n-3)(n-4)} t^-2 +1)^n dt
について、x^6の係数を自然数にするようなnを求めなさい。
半角で一桁の数字を入力してください。
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互いに素な整数の辺 $a,b,l$(斜辺 $l$)を持つ直角三角形を考える。内接円の半径を $r$、周長を $L$、面積を $S$ とする。 $L^2=kS$ ($k$ は正の整数) を満たすとき、 全てのkの値を求めよ。
半角1スペースおきに小さい順に並べてください
$p$ を $p \ge 5$ なる素数とする。集合 $G_p = {1, 2, \dots, p-1}$ の部分集合 $S$ が自己双対的であるとは、 $$a \in S \implies a^{-1} \pmod p \in S \quad \text{かつ} \quad a \in S \implies p-a \in S$$ が全ての $a \in S$ に対して成り立つことと定義する(ここで $a^{-1}$ は $\pmod p$ における $a$ の乗法逆元)。
$N_p$ を、$G_p$ の自己双対的な部分集合 $S$ の総数とする(空集合 $\emptyset$ も含む)。
$N_p = 32$ となるような素数 $p$ ($p \ge 5$) をすべて求めよ。
解を半角1スペースおきに小さい順に並べてください
$(1)$ 方程式 $12x^2+4xy-21y^2=32x-32y+3$ の整数解 $(x,y)$ を求めよ. $(2)$ 不等式 $z^2\lt a(a+1)z-a^3$ の奇数解 $z$ が二つとなる実数 $a$ の範囲を求めよ.
$a^{xy}$ がとりうる整数の和を半角数字で入力してください.
n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。
量 $Q_n$ を次のように定義する。 $$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$ ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。
次の極限値を求めよ。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$
ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。
半角で
$(1)$ $4$ つの実数 $(10\pm\sqrt 2\pm 4\sqrt 3)^3+1$ の和と等しい整数の最大素因数を求めよ. $(2)$ 方程式 $(2x^2-x)(2x^2-7x+6)=7$ の実数解 $x$ に対する $x^5-\dfrac{1}{x^5}$ の値を求めよ.
$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください.
次の実数 $a,b,c$ に対し,つねに $|ax+by|\leqq |c|$ となる実数 $x,y$ の和の値域幅を求めよ.
半角数字で入力してください.
$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める. \begin{aligned} &a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\ &b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots) \end{aligned}
(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ. (2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.
(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)
本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.
四角形 $ABCD$ と三角形 $XYZ$ は以下の条件を満たします. $$AD=505, \hspace{1pc} BC=507, \hspace{1pc} AB=CD, \hspace{1pc} \angle ABC=60^\circ, \hspace{1pc} \angle DCB=80^\circ$$ $$YZ=1, \hspace{1pc} XY=XZ, \hspace{1pc} \angle YXZ=40^\circ$$ このとき, 四角形 $ABCD$ の面積は三角形 $XYZ$ の面積の何倍ですか.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
追記: 若干日本語がおかしかったため編集しました. 解答には影響はないと思われます. 一応ヒント2に元の問題文を残してあります. 以上, よろしくお願いします.
$1000^{n}$ ($n$ は自然数) の正の約数の個数を $D_{n}$ とし, そのうち $10^{n}$ より大きく, $100^{n}$ より小さいものの個数を $K_{n}$ とする。 極限値 $$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{K_{n}}{D_{n}} $$ を求めよ。
電卓を用いるなどして極限値の小数第5位までを解答してください.(0.1234567...の場合0.12345と解答する)
本問は京大作問サークル理系模試2019の第1回6番に掲載している問題です.
半円と平行四辺形が図のように配置されています。赤い三角形の面積が3のとき、青い線分の長さを求めてください。 ※平行四辺形の一辺と半円は接する。
$$x=\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イウ}-\fbox エ\sqrt{\fbox オ}}$$と表せるので、文字列 アイウエオ を解答してください。ただし、$\fbox ア~\fbox オ$には0以上9以下の整数が入ります。
以下の2次方程式 $$ x^{2}-2ax+b=0 ― (*) $$ について,自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。 $a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 $b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。
(2)~(4)は,自作場合の数・確率1-2につづく
2025/01/07追記 解説をアップデート,全員に対して公開に設定
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答 例)$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答
$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$
$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。