問題

Furina 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年4月1日22:40 正解数: 0 / 解答数: 4 ギブアップ不可
この問題はコンテスト「FUnctional equation RunnINg Aprilfool contest」の問題です。

問題文

$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ において,外心を $O$,内心を $I$ とします.また,三角形 $ABC$ の内接円と辺 $BC$ の接点を $D$ とします.さらに,$I$ を通り直線 $BC$ に平行な直線と直線 $AD$ との交点を $P$ とすると,以下が成立しました.
・直線 $AD$ と直線 $IO$ は直交する.
・$AP=15,DP=8$
$AI$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せます.
 ところで,$\cal{AB}=a,\cal{AC}=(b\ \mathrm{mod}\ a)$ なる三角形 $\cal{ABC}$ の内心を $\cal{I}$,内接円 $\omega$ と辺 $\cal CA,AB$ との接点をそれぞれ $\cal E,F$ とします.三角形 $\cal ABE$ の外接円と三角形 $\cal ACF$ の外接円が $\omega$ 上で交わっているとき,辺 $\cal BC$ の長さを求めてください.ただし,求める長さは,正整数 $c,d$ を用いて $c-\sqrt{d}$ と表せます.ただし,$(b\ \mathrm{mod}\ a)$ で $b$ を $a$ で割った余りを表します.
 ところで,$n=d-2c-4$ とします.Furinaくんは,以下のような問題Xを作りましたが,数値設定に悩んでいます.
問題X:$XY=n,YZ=p,ZX=q$ なる三角形 $XYZ$ の内心を $ぴ$,$\angle X$ 内の傍心を $か$ とします.$ぴか$ の長さを求めてください.
 Furinaくんは,解答形式を奇麗にしたいため,$ぴか^2$ が正整数になるようにしたく,さらに $ぴか^2$ が $p$ で割り切れないようにしたいといいます.このようなことが可能な奇素数の組 $(p,q)$ すべてについて,$p+q$ の総積を求めてください.

追記 $\angle A$ 内の傍心とありましたが,これは $\angle X$ 内の傍心のことです.現在は訂正されています.

解答形式

半角整数値で解答してください.


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解答提出

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解答形式

$(a,b,c)$と,この組に対して条件を満たす$p$を$1$つ用いて「$(a,b,c)$、条件を満たす$p$は~~」というように解答してください.

得点について

・誤答の場合$0$点.多少の書式の違いは認めます.

・正答の場合,$p_k$を$k$番目に小さい奇素数としたときに任意の$k=1,2,...s$に対して「ある正整数$N$が存在し,ある正整数$n$が存在して$a^n+b^n+c^n$が$p_k$で割り切れ,かつ任意の正整数$n$に対して$a^n+b^n+c^n$は$p_k^N$で割り切れない.」が成り立つような$s$の参加者全体中の最大値を$x$,あなたの解答に対する値を$y$としたとき$\dfrac{100y}{x}$以上の整数の内最小のものをあなたの得点とします.ただしこの値が$0$に等しい場合は$1$点とします.

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解答形式

半角数字で解答してください.

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解答形式

半角数字で入力してください。

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(1) 定積分

$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$

の値を求めよ。

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$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$

で定める。定積分

$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$

の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。

備考

この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。

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問題文

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操作X:

  1. 隣り合う2枚の皿に着目し,左側の皿に乗っているピザをひっくり返し,右側の皿の一番上に重ねる.ピザが複数枚乗っている場合は,ピザを重ねたまままるごとひっくり返す.
  2. 左側の皿を取り除き,皿どうしのすき間を詰める.

この操作Xを$\;N-1\;$回繰り返すと,1枚の皿にピザの塔ができます.操作Xの $N-1$ 回の繰り返しをピザの調理ということにします.ピザの塔を構成するピザを,上から順に$\;P_i\; (i=1,\cdots, N)\;$とし,$P_i$ が表を上に向けているとき「表」,裏を上に向けているとき「裏」と書くことにすると,ピザの塔は「裏裏裏表」のように表すことができます.

$N=6$とします.「裏裏裏裏表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.

解答形式

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