問題

Furina 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年4月1日22:40 正解数: 2 / 解答数: 8 (正答率: 25%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「FUnctional equation RunnINg Aprilfool contest」の問題です。

問題文

$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ において,外心を $O$,内心を $I$ とします.また,三角形 $ABC$ の内接円と辺 $BC$ の接点を $D$ とします.さらに,$I$ を通り直線 $BC$ に平行な直線と直線 $AD$ との交点を $P$ とすると,以下が成立しました.
・直線 $AD$ と直線 $IO$ は直交する.
・$AP=15,DP=8$
$AI$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せます.
 ところで,$\cal{AB}=a,\cal{AC}=(b\ \mathrm{mod}\ a)$ なる三角形 $\cal{ABC}$ の内心を $\cal{I}$,内接円 $\omega$ と辺 $\cal CA,AB$ との接点をそれぞれ $\cal E,F$ とします.三角形 $\cal ABE$ の外接円と三角形 $\cal ACF$ の外接円が $\omega$ 上で交わっているとき,辺 $\cal BC$ の長さを求めてください.ただし,求める長さは,正整数 $c,d$ を用いて $c-\sqrt{d}$ と表せます.ただし,$(b\ \mathrm{mod}\ a)$ で $b$ を $a$ で割った余りを表します.
 ところで,$n=d-2c-4$ とします.Furinaくんは,以下のような問題Xを作りましたが,数値設定に悩んでいます.
問題X:$XY=n,YZ=p,ZX=q$ なる三角形 $XYZ$ の内心を $ぴ$,$\angle X$ 内の傍心を $か$ とします.$ぴか$ の長さを求めてください.
 Furinaくんは,解答形式を奇麗にしたいため,$ぴか^2$ が正整数になるようにしたく,さらに $ぴか^2$ が $p$ で割り切れないようにしたいといいます.このようなことが可能な奇素数の組 $(p,q)$ すべてについて,$p+q$ の総積を求めてください.

追記 $\angle A$ 内の傍心とありましたが,これは $\angle X$ 内の傍心のことです.現在は訂正されています.

解答形式

半角整数値で解答してください.


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$$AB=9, AC=14, QN=8$$
であるとき,$BC$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ と表せるので,$a+b+c$ を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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・最下段以外のブロックには,そのすぐ下に位置する左右 $2$ つのブロックに割り当てられた数の積を割り当てる.

最も上にあるブロックに割り当てられた整数を $N−1$ で割った余りを $f(N)$ とします.このとき,$f(10^9 + 8) + f(10^9 + 404)$ の値を解答して下さい.ただし, $10^9 + 7, \ 5×10^8 + 3, \ 10^9 + 403, \ 5×10^8 + 201$ はいずれも素数であることは既知としてよいです.

解答形式

例)半角数字で解答して下さい.

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              図1

              図2

解答形式

四捨五入して整数で答えてください。
例)$\frac{17}{4}cm^3$→4

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解答形式

半角整数値で解答して下さい.


問題文

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半角数字で解答してください.

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解答形式

$a+b$ を求めてください.

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 今週の図形問題です。普段は補助線次第で暗算で処理できる問題を隙あらば入れているのですが、今回は計算量が多めです。補助線と工夫を武器に計算量を減らす道を探ってみてください。計算力に自信のある方は、どうぞその計算力でなぎ倒してもいいですよ!

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

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【補助線主体の図形問題 #022】
 まもなく迎える7月22日は、$\dfrac{22}{7} = 3.\overline{142857} \fallingdotseq \pi$ から「円周率近似値の日」とされています。今回は円周率近似値の日を少し先取りして円だけで構成された問題を用意しました。暗算解法もいつも通り用意しています。補助線と共にしばし図形問題をお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
\def\myang#1{\angle \mathrm{#1}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

  1. 全体の方針
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  4. ヒント3の続き
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解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。