問題文

鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，外心を $O$，直線 $CH$ と直線 $AB$ の交点を $F$，直線 $BC, AC$ について $F$ と対称な点をそれぞれ $X, Y$ とし，直線 $BX$ と直線 $AY$ の交点を $P$ とします．$\angle FOX=\angle AFP$ かつ $FH=1, HC=7$ が成り立つとき，円 $ABC$ の半径としてありうる値の二乗の総和は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題

三角形の重心を G、内心を I、内接円の半径を $r$ 、外接円の半径を$R$とする。もし $GI=r$ が成り立つとき、この条件を満たす非退化な三角形が存在するための、$R/r$ の最小値を求めよ。

解答形式

1行目に分子
2行目に分母を書いてください
半角で、根号が含まれる場合
√(17) √(41+5√(19)) 2√(15)+3√(17)
このように括弧を付けてください
また、指数が小さい順、同じ次数のものは小さい数のものから並べてください
例:√10+√15+1 ³√15+√17+9

問題文

下図のようにブロックがピラミッド状に積んであり，各ブロックに $1$ つずつ整数を割り当てていきます．このとき，最下段に並ぶブロックが $N$ 個であるとき，以下の条件を満たすように整数を割り当てることとします．
・ 最下段の左端のブロックには $1$ を，右端のブロックには $N−2$ を，また左から $i$ 番目のブロック $(2 \leq i \leq N−1)$ には $i−1$ をそれぞれ割り当てる．
・最下段以外のブロックには，そのすぐ下に位置する左右 $2$ つのブロックに割り当てられた数の積を割り当てる．

最も上にあるブロックに割り当てられた整数を $N−1$ で割った余りを $f(N)$ とします．このとき，$f(10^9 + 8) + f(10^9 + 404)$ の値を解答して下さい．ただし, $10^9 + 7, \ 5×10^8 + 3, \ 10^9 + 403, \ 5×10^8 + 201$ はいずれも素数であることは既知としてよいです．

解答形式

例）半角数字で解答して下さい.

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$\angle A$ (内角) の二等分線と $BC$，円 $ABC$ の交点をそれぞれ $D, M(\neq A)$，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $E$，$AC$ の中点を $N$，円 $ENC$ と円 $ABC$ の交点を $X(\neq C)$，円 $XMD$ と $BC$ の交点を $P(\neq D)$，$PM$ の中点を $Q$ とします．
$$AB=9,　AC=14,　QN=8$$
であるとき，$BC$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

図1は、あるへこみのない立体の展開図です。図1は合同な正方形2個、合同な菱型4個、合同な台形8個からなり、これを組み立てると2個の正方形1組がたがいに向かい合い、2個の台形4組がたがいに向かい合い、2個の菱形2組がたがいに向かい合います。また、図2は図1に使われている3種類の図形を、1目盛りが1cmの方眼用紙に描いたものです。図1を組み立ててできる立体の体積は何cm$^3$ですか。
　　　　　　　　　　　　　　図1

　　　　　　　　　　　　　　図2

解答形式

四捨五入して整数で答えてください。
例)$\frac{17}{4}cm^3$→4

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 垂心を $H$, 内心を $I$, 外心を $O$ とし, また, $C$ から $AB$ に下した垂線の足を $D$, $B$ から $AC$ に下した垂線の足を $E$, $A$ から $BC$ に下した垂線の足を $F$ とします. すると, $H,I,O$ は相異なり, かつ $AH=AO=10,HI:HO=41:80$ が成立しました. このとき, $DF+EF$ は互いに素な正整数 $a,b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ によって, $\cfrac{b \sqrt{c}}{a}​​$ と表されるため, $a+b+c$ の値を解答して下さい.

解答形式

半角整数値で解答して下さい.

問題文

4桁の自然数Nの千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれa,b,c,dとする。次の条件を満たすNは何通りあるか、それぞれ答えなさい。
問1 a<b<c<d 問2 a>b≧c,5<d 問3 a>b,b<c<d

解答形式

下記のように解答お願いします。問題番号と〜にあたる部分には半角スペース1個分空けてください。
問1 〜通り
問2 〜通り
問3 〜通り

問題文

$AB=2,AC=1$ をみたす三角形 $ABC$ の垂心を $H$，内心を $I$，外接円を $\Gamma$ とします．直線 $AH$ と $BI$ の交点を $D$ とし，$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $X$ とすると，$AX=BX$ となりました．このとき，辺 $BC$ の長さを求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a\times b\times c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

直径 $10$ の円周上に $120$ 個の異なる点 $A_1,\ldots, A_{120}$があります．$120$ 個の点のうち $2$ 点を選ぶ方法は ${}_{120}\mathrm{C}_{2}$ 通りあります．この ${}_{120}\mathrm{C}_{2}$ 通りすべての二点の距離の総積の最大値を $M$ としたときに，$M$ は整数値になるので，$M$ の正の約数の個数を答えてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB=5, AC=8, \angle A=60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について，外接円の $A$ を通らない弧 $BC$ の中点を $M$ とする．相異なる $4$ 点 $P,Q,B,C$ がこの順で同一直線上に並び，$\angle APB:\angle MPB=\angle AQB:\angle MQB=3:1$ が成立した．線分 $PQ$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: pomodor_ap

問題文

三角形 $ABC$ について，内心を $I$ とし，$AD=AB=EB$ なる点 $D, E$ をそれぞれ辺 $AC, BC$ 上にとります. いま，円 $CDE$ と $ID, IE$ の交点をそれぞれ $P(\neq D), Q(\neq E)$ とすると，$AP$ は円 $CDE$ に接しました. $AI$ と円 $ABC$ の交点を $M(\neq A)$ とすると，$AI×IM=233, IP=19$ が成立しました. $MQ$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を求めてください.

解答形式

$a+b$ を求めてください.

問題文

半円3つが図のように配置されています。∠Xと∠Yの差を求めてください。
※同じ色で示した線分は長さが等しいです。

解答形式

0~360までの整数を半角数字で解答してください。
「度」や「°」などの単位を付けないでください。
例: 30° → 30