素因数分解

問題文

次の式を満たす相異なる正の整数$p，q$を全て求めよ。

$$p^{p+q}−q^{p+q}＝(pq)^p−(pq)^q$$

解答形式

$p＋q$の値をそれぞれの組で求め総和した値を半角で入力してください。

問題文

正三角形 $ABC$ の内部を以下のように歩く移動するペンギンがいる．

・ 常に直進するが，辺（頂点を除く）にぶつかった場合は，辺に対して今移動してきた直線と対称な直線へ方向転換する．頂点についた場合，その時点で歩行をやめる．

また，$0\leq p \leq 1$を満たす実数 $p$ に対して，$f(p)$を以下のように定める．

・$f(p)$は，$AC$ を $p:1-p$ に内分する点を $D$ とし，このペンギンがはじめ $B$ にいて、$D$ に向かって直進したときの，ペンギンの歩行が止まるまでに辺（頂点を除く）にぶつかった回数

正整数 $n$ に対して，$f(p)=n$ を満たす $p$ の総和が $9$ であったとき，$n$ としてありうる値の総積を求めてください．

解答形式

非負整数を半角英数字で解答してください．

問題文

非負整数 $n$ に対して, $a_n$ を以下で定めます.$$a_0=1,\quad a_{n+1}=10a_n+4$$ このとき, $a_n$ が累乗数となるような非負整数 $n$ に対して, $a_n$ の総和を求めてください.
ただし, 累乗数とは, 自然数 $a$ と$2$ 以上の自然数 $b$ を用いて $a^b$ と表せる数です.

解答形式

例）整数を答えてください.

問題文

$$
a²+b²=c²,gcd(a,b,c)=1
$$
を満たす自然数a,b,cが存在するとき
任意の自然数tに対して
$$
aₜ²+bₜ²=c²ᵗ,gcd(aₜ,bₜ)=1
$$
を満たす自然数aₜ,bₜが存在することを示せ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

三角形$ABC$の内心を$I$ , 外心を$O$とします。
$AI=5$ , $AO=6$ , $AB+AC:BC=5:2$が成り立っている時、$cos\angle OAI$の値を求めてください。

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので、$a+b$の値を解答してください。

問題

以下の問いに答えよ。

（１）$a,b,c,d$ はいずれも $0$ でない実数の定数で、 $ad-bc\neq 0$ を満たしている。実数 $\displaystyle x\neq -\frac{d}{c} $ に対して関数 $f(x)$ を

$$
\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}
$$

と定義すると、

$$
\frac{3\left(f''(x)\right)^2-2f'(x)f'''(x)}{\left(f'(x)\right)^2}
$$

の値は $a,b,c,d$ や $x$ によらないある整数となる。その値を求めよ。

（２）実数 $x$ に対して関数 $g(x)$ を

$$
\displaystyle g(x)=\frac{e^{4x+816}-e^{-4x-816}} {e^{4x+817}+e^{-4x-817}} \ \ \
$$

と定義すると、

$$
\displaystyle \frac{3\left(g''(x)\right)^2-2g'(x)g'''(x)}{\left(g'(x)\right)^2}
$$

の値は $x$ によらないある整数となる。その値を求めよ。

解答形式

0から9までの半角数字および-(マイナス)のうち、必要なものを用いて解答せよ。

（１）の答えを1行目に入力せよ。

（２）の答えを2行目に入力せよ。

たとえば、（１）に $816$、（２）に $-817$ と回答したいときは、

816
-817

と入力せよ。

問題

半径 $1000$ の円の形をした平坦な地形の島がある。この島を訪れたトレジャーハンターのアリスは、この島のある $1$ 点 $\mathrm{T}$ の真下に宝が埋まっていることは知っているが、$\mathrm{T}$ の位置は知らない。アリスは、自分のいる地点と $\mathrm{T}$ との距離を正確に測る探知機を使って $\mathrm{T}$ にたどり着こうとしている。

はじめ、アリスは島の中心点 $\mathrm{A_0}$ にいる。この後、アリスはターン制で行動を繰り返す。$n=1,2,\ldots$ に対し、$n-1$ ターン目の行動が終わった後のアリスの位置を $\mathrm{A_{n-1}}$ とする。$n$ ターン目でアリスは以下の行動をとる:

$n$ ターン目の行動:
アリスは、今いる地点 $\mathrm{A_{n-1}}$ からちょうど距離 $1$ だけ離れた点 $\mathrm{A_{n}}$ に移動する。その後、探知機を使って線分 $\mathrm{TA}_n$ の長さ $d_n$ を正確に測る。

さて、あるターンで $d_n=0$ となった時、アリスは今いる地点の真下を掘り起こして宝を見つける。$\mathrm{T}$ の位置にかかわらず、アリスがうまく行動すれば $N$ ターン目で確実に宝を見つけることができるような正の整数 $N$ の最小値を求めよ。

解答形式

半角数字のみで1行目に入力せよ。

問題文

三角形 $ABC$ において，$\angle{A}, \angle{B}, \angle{C}$ の角の二等分線と辺 $BC, CA, AB$ との交点を $D, E, F$ ，直線 $CF$ と $DE$ の交点を $X$ ，三角形 $ABC$ の外接円と直線 $AD, AX$ の交点を $M, N$ とすると，以下が成り立ちました．
$$
MN=NC， BD=4， DC=6
$$このとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．ただし，答えは 正整数 $a, b, c$ ( $a$ と$b$ は互いに素，$c$ は平方因子を持たない)を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}}{a}$ と表されるので $a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

全ての自然数に対し、偶数の時は2で割り、奇数の時は1を足して２で割る操作を繰り返すと必ず1になることを証明せよ。

解答形式

特に指定はなし。

問題文

$30$ 人の人が $\pi$ ナポゥ君の主催するたけのこニョッキ大会に参加します．ルールは次の通りです．

• $i=30,29, \dotsc,1$ の順に $1$ 人 $1$ つの数 $i$ を叫んでいき，最後まで叫ぶことができたら成功である．もし $i$ を複数人が叫んでしまったり，だれも叫ばなかったりした場合は失敗である．

なかなか成功しないことに気づいた $\pi$ ナポゥ君は，次のように八百長をすることにしました．

• はじめに $30$ 人それぞれに正整数を与え，$i=30,29,\dotsc,1$ について以下を繰り返す．
  • まだ叫んでいない人の内，与えられた数が $i$ の約数もしくは倍数である人は，数 $i$ を叫ぶ．

このたけのこニョッキが成功するような，$30$ 人に与えられる正整数の総和の最小値を解答して下さい．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は，任意の正整数 $a, b, c$ において，以下を満たしました．
$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また，$f(15)=15$ を満たすとき，$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$\pi$ が $\dfrac{1000\pi}{1001}\risingdotseq 3.13845\cdots$ よりも大きいことを示せ