定積分

$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\log_{e^{n}}\,{}_{2n}\mathrm{C}_{n}$$を求めてください。

解答形式

半角で数字のみ入力してください。
・答えが分数になる場合は分母と分子の和を答えてください。
(例: $\dfrac{1}{2}$ → $3$を入力する )
・答えに$\pi$を含む場合は$\pi=3$として答えてください。
(例: $2\pi$ → $6$を入力する，$\dfrac{\pi}{2}$ → $5$を入力する )
・答えに$\log$を含む場合は$a\log b$となる場合も$\log b^a$として真数のみ答えてください。
(例: $2\log 2$ → $4$を入力する )
・上記の例に当てはまらない場合は$0$と入力してください。($0$に収束する場合も$0$と入力します)

問題文

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{100}=100$を満たす100個の非負整数の組$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{100}$の全てについて、
$$\frac{1}{a_{1}!a_{2}!a_{3}!...a_{100}!}$$の総和を求めてください。

解答形式

答えが異なる自然数a,bを用いてa^b/b!という形で表されるため、a+bを回答してください。

問題文

数列$\ a_{n}$は以下のように定義されます.
$$a_{1}=1,a_{n+1}=2a_{n}+2\cos\frac{n\pi}{3}$$
このとき,$$\displaystyle\sum_{k=1}^{50000}a_{k}$$の正の約数の個数を解答してください.

解答形式

整数で解答してください.

問題文

$86^{48}-64$ を $864$ で割った余りを求めよ。

問題文

$AB=AC$ である直角二等辺三角形 $ABC$ があり，外接円の劣弧 $AC$ 上に点 $D$ をとります．すると $$AB=\sqrt{666},CD=6$$ が成り立ちました．$BD$ に $A$ から下ろした垂線の足を$H$ とした時，$AH\times BH$ の値を求めて下さい．

解答形式

半角の数字で答えて下さい．

問題文

下図の塗りつぶされた部分の面積を求めよ。

条件
・四角形$ABCD$は一辺の長さが$3$の正方形
・円はどちらも正方形の$2$辺に接していて、その半径は$1$

解答形式

答えは正整数$a,c$と平方因子を持たない正整数$b$および互いに素な正整数$d,e$を用いて$\dfrac{π}{a}+\dfrac{\sqrt{b}}{c}-\dfrac{d}{e}$と表されるので、$a+b+c+d+e$の値を半角数字で入力してください。

${}$　西暦2025年問題第6弾です。一見本格的な整数問題ですが、あいかわらず仕掛けを施しています。独特な時味の当問をどうぞお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は求める項の値をそのまま入力してください。
（例）第10項＝106 → $\color{blue}{106}$

問題文

正方形 $ABCD$ があります．この対角線 $BD$ 上に点 $P$ を取ります．ただし，$BP<PD$ です．$P$ を中心とし$B$ を通る円と円 $APD$ が，直線 $BD$ に関し，点 $C$ と同じ側にある点 $Q$ で交わりました．
$AB = 13, BQ = 10$ が成り立つ時，$QC$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

非負整数で入力してください．

問題文

以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$abcd$の総和を求めよ。
$$
4a²+b²+c²=d²
$$

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

以下の $x$ に関する $3$ 次方程式は相異なる $3$ 個の複素数解をもつので，それぞれの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とします．
$$x^3-2^{2025}x^2+24x-2^{2023}=0$$

このとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの31番の問題と同じです．

問題文

$x,y$を整数、$p$を素数とする。
$x^2-xy+y^2=2^p$を満たす組$(x,y,p)$をすべて求めよ。

解答形式

$x+y+p$の値としてありうる値の総和を半角数字で入力してください。

問題文

正整数$N$を$7,10,13,16,19$で割った余りがそれぞれ$2,3,4,5,6$であるとします。このとき$N$を$1729$で割った余りを求めてください。