定積分

shippe 採点者ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2025年10月1日10:32 正解数: 0 / 解答数: 1 ギブアップ不可
高校数学

問題文

$
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n \frac{3k^2+17k+7}{k^4+2k^3+k^2}=\int_{1}^{n+1}f(x) \space dx
\end{eqnarray}
$
$
を満たす有理式f(x)を1つを求めてください。
$

解答形式

$
半角で入力してください。
$


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問題文

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解答形式

答えはある整数 $a, b, c$ を用いて$$\rm{OD} = \frac{b \pm \sqrt{c}}{a}$$と表せるので、一行目に $a$、二行目に $b$、三行目に $c$ を半角で入力してください。

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$$f_1(x)=x,f_{n+1}(x)=x^{f_n(x)}$$
このとき、数列${lim_{x→0}f_n(x)}$の収束・発散・振動を調べ、収束すればその値を、振動すれば現れる2数を求めなさい。

解答形式

発散する場合→正の無限大に発散、負の無限大に発散のいずれかを答える。

収束する場合→収束先を半角数字で答える。

振動する場合→数列に現れる2数を、全角スペースで区切り小さい順に答える。
(例)数列が4,6,4,6···と振動する場合、かぎかっこ内のように答える。
「4 6」

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$$x≧5のとき\hspace{2mm}
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・アルファベット&記号は全て半角(ただし、マイナスについては基本的に「ー」を使い、aのb-1乗のような場合では「-」を使います。)
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$$
a_{n} = \int_{1}^{e^{0.1}}(\log{x})^{n}dx \qquad (n=0,1,2,\dotsc)
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$$
a_{n} = (\fbox{1})^{n}\cdot e^{\fbox{2}} - na_{n-1} \qquad (n\geq1)
$$を得る。$a_{3}$は,有理数$\fbox{3},\fbox{4}$を用いて
$$
a_{3} = \fbox{3}e^{\fbox{2}}+\fbox{4}
$$と表せる。$1\leq x\leq e^{0.1}$のとき$0\leq(\log{x})^{n}\leq0.1^{n}$より$0\leq a_{n}\leq(e^{0.1}-1)\cdot0.1^{n}$である。$n=3$に対してこの不等式を用いることにより$e^{-0.1}$を小数点第4位まで求めることができる。$e^{-0.1}$の小数点第5位以下を切り捨てた小数点第4位までの値は$\fbox{5}$である。

また,$\displaystyle b_{n}=\frac{(-1)^{n}e^{-0.1}}{n!}a_{n}$とすることで$a_{n},b_{n}$の一般項は容易に求められる。
$$
0 \leq |b_{n}| = \frac{e^{-0.1}a_{n}}{n!} < \frac{1-e^{-0.1}}{10^{n}\cdot n!}
$$より,はさみうちの原理から$\displaystyle\lim_{n\to\infty}|b_{n}| = 0$,つまり
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-0.1)^{n}}{n!} = e^{\fbox{6}}
$$が求められる。

解答形式

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3.45
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7.89
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次の関数 $x,y$ における定数 $c$ の命題「つねに $x\geqq 3$ ならば $y$ の値域幅は $c$ 以上」は真か.$$0\leqq t\leqq 2c,\quad x=|t-c|+|t-3|+|t-5|,\quad y=|||t-1|-2|-3|$$

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$$$$(ただしS_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}とする)$$$$解答法はa_{n}=...,S_{n}=…です$$