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カタラン数の一般項を漸化式から求める

zyogamaya 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年9月26日18:48 正解数: 3 / 解答数: 7 (正答率: 42.9%) ギブアップ数: 2

問題文

以下の漸化式で与えられる数列an,bnを考える。ただし、nは非負整数であるとし、anの初項はa0=1とする。
an+1=nk=0akank,bn+1=nk=0(k+1)akank
(1)bnanで表わせ。
(2)an+1=2(2n+1)n+2anを証明せよ。
(3)それぞれの数列の一般項an,bnを求めよ。
(4)limnnanを求めよ。ただしlimnlognn=limnlog(n+1)n=0を証明無しで用いても良い。

解答形式

(4)の答えを半角数字またはTeXで入力してください。
(1)~(3)についてはお手持ちの紙に解答し、解説を確認ください。


ヒント1

(1)1+2+3++100を解いたガウスの方法を踏襲してみましょう。

ヒント2

(2)数学的帰納法です。bnはこのために必要だったわけです。

ヒント3

(3)まあ積の形なので楽勝でしょうか。

ヒント4

(4)(3)の結果を代入し、挟み撃ちで求めましょう。必要に応じてlogを取ると良いでしょう。


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解答提出

この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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解答形式

半角数字で解答してください。

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解答形式

求めた値を小数で表し、小数第3位を四捨五入して小数第2位まで答えよ。
たとえば S=π=3.14159265......と解答する場合には、「3.14」と入力せよ。
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(1)直線l1,l2,l3は互いに平行であることを示せ。

(2)線分長の2乗比AB2:PQ2を求めよ。

(3)線分長の2乗比RS2:DE2を求めよ。

(4)直線l2Cで囲まれる部分の面積Sα,βで表わせ。

解答形式

(2),(3),(4)の答えはそれぞれ一桁の自然数a,b,c,d,e,f,g,h,i,jを用いて以下のように表されます。
センター、共通テスト形式で埋め、10桁の自然数abcdefghijを答えてください。
AB2:PQ2=a:b
RS2:DE2=c:d
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n を正の整数とし、p を素数とする。n! の素因数分解における p の指数を Ep(n!)=k=1npk とする。

Qn を次のように定義する。
Qn=pn(np1Ep(n!))logp
ただし、和は n 以下の全ての素数 p を走り、log は自然対数とする。

次の極限値を求めよ。
limnQnn

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解答形式

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f(1)=1,  f(1x)=f(x)x,  d2dx2f(x)0,  d2dx2(1f(1x))0

をすべて満たすとする。このような f に対し

I[f]=212f(x)dx

を考える。

(1)I[f] の最大値は アイウエ である。
(2)I[f] の最小値は log である。ただし log は自然対数である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウエ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「オカキ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
ただし、対数の中身が最小となるように答えよ。

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(1)limt+x(t)=+ となる a の範囲は、a である。
(2)a= のとき、x(t)=34 となる t の値は t=オカ+log2 である。ただし log は自然対数とする。

解答形式

ア〜クには、0から9までの数字が入る。同じ文字の空欄には同じ数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「エオカキク」を半角で2行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、根号の中身が最小になるように答えよ。

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(1.1)
f(x)=x+4x2の最小値を、微分を用いて求めよう。まず、
f(x)=x3である。f(x)の符号はx=の前後でのみ変化するから、f(x)x=で極値をとり、さらにそれが最小値であることが分かる。したがって、f(x)の最小値はである。

この問題は(1.2)に示すような解法が知られている。

(1.2)
相加相乗平均の関係式を用いてf(x)の最小値を求める。a1+a2=1を満たす0以上の実数a1,a2を用いて、
f(x)=a1x+a2x+4x23(a1xa2x4x2)13=3(4a1a2)13とする。いかなるa1,a2の組に対してもこの不等式は成立する。一方で、等号を成立させるxが存在するには、a1x=a2xでなければならないから、a1=a2となる。このとき、等号成立条件
a1x=a2x=4x2を満たすxは存在して、その値はx=で、不等式の右辺の値はとなり、最小値が得られる。

(2)
g(x)=x+3x1+x2の最小値を、(1.2)の解法に準じて求めよう。
(1.2)中の議論と同様に、等号成立条件を考えれば、同類項の係数(前問ではa1,a2にあたる)が異なってはならないと言える。したがって、3つの自然数b1,b2,b3を用いて、g(x)=b1xb1+b23b2x+b31b3x2と考えることにする(即ち、b1個のx/b1b2個の3/b2xb3個の1/b3x2の和と考える)。相加相乗平均の関係式を適用したときに、累乗根の中身が定数となるには、b1=b2+b3であればよい。等号成立条件はxb1=3b2x=1b3x2である。中辺と最右辺の等式から、x=b2/(3b3)であり、これと最左辺・最右辺の等式から、b23b3(b2+b3)=9b3b22整理して、b32キクb2b23ケコb33=0この式を解くと、b2/b3=/を得られるので、b1:b2:b3=::であれば良いことが分かる。これより、g(x)(b1+b2+b3)((xb1)b1(3b2x)b2(1b3x2)b3)1b1+b2+b3=タチであり、x=で等号が成立して、最小値となる。

解答形式(要注意!)

以下のこと(特に2つ目)に注意して解答してください。

には0以上9以下の整数が入ります。
・式の係数・分母の空欄()には1が入る可能性もあります。
は、++が最小となるようにしてください。また、分数は既約分数にしてください。

文字列アイウエを1行目
文字列オカキクケコを2行目
文字列サシスセソを3行目
文字列タチツテを4行目
に入力して解答してください。

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三角形 ABC について,辺 BC,CA,AB の中点をそれぞれ D,E,F とし,三角形 ABC,DEF の垂心をそれぞれ H1,H2 とすると,以下が成立しました.H1H2=33,DH2=1,H1H2D=150このとき,三角形 ABC の面積の 2 乗の値を求めてください.

解答形式

半角数字で入力してください。


問題文

N を正の整数、c>0 を定数とする。実数の組 (t1,t2,,tN) に対して関数

fn(t1,t2,,tN)=tn(1tn)(c(1+tn)Ni=1ti)   (n=1,2,,N)

を考える。また、N×N 行列 J(t1,t2,,tN)

J(t1,t2,,tN)=(f1t1f1tNfNt1fNtN)

と定義する。

N=1000, c=10001.23 として、以下の問いに答えよ。

(1)1000個の実数の組 (x1,x2,,x1000) であって、x1x2x1000 かつ

fn(x1,x2,,x1000)=0   (n=1,2,,1000)

を満たすものはいくつあるか。

(2)(1)で考えた組のうち、J(x1,x2,,x1000) の固有値の実部がすべて負であるようなものはいくつあるか。

解答形式

(1)の答えを半角数字で1行目に入力せよ。
(2)の答えを半角数字で2行目に入力せよ。

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問題文

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解答形式

半角数字またはTeXを入力してください。

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問題文

xy平面において点Oを中心とする単位円上に異なる2点を取り、それぞれP0,Qとする(ただしP0,O,Qは一直線上にないものとする)。また、P0OQのうち小さい方の角をθとする(0<θ<π)
これから、以下の操作をi=1,2,3,,nについて計n回行う。

(操作)
Pi1Qのうち短い方の弧を2等分するような単位円上の点をPiとし、Pi1PiQの面積をSiとする。

このとき、
Si=sinθi12sinθi1となるので、
ni=12i1Si=12(nsinθnsinθ)となる。ここでnとすると
右辺の極限値は、
12(θsinθ)となり扇形P0OQからP0OQを取り除いた図形の面積に収束することが分かる(図形的にも明らか)。

解答形式

~に入る整数を半角で1,2,…行目に入力してください。