以下の漸化式で与えられる数列an,bnを考える。ただし、nは非負整数であるとし、anの初項はa0=1とする。
an+1=n∑k=0akan−k,bn+1=n∑k=0(k+1)akan−k
(1)bnをanで表わせ。
(2)an+1=2(2n+1)n+2anを証明せよ。
(3)それぞれの数列の一般項an,bnを求めよ。
(4)limn→∞n√anを求めよ。ただしlimn→∞lognn=limn→∞log(n+1)n=0を証明無しで用いても良い。
(4)の答えを半角数字またはTeXで入力してください。
(1)~(3)についてはお手持ちの紙に解答し、解説を確認ください。
(1)1+2+3+……+100を解いたガウスの方法を踏襲してみましょう。
(2)数学的帰納法です。bnはこのために必要だったわけです。
(3)まあ積の形なので楽勝でしょうか。
(4)(3)の結果を代入し、挟み撃ちで求めましょう。必要に応じてlogを取ると良いでしょう。
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