カタラン数の一般項を漸化式から求める

zyogamaya 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年9月26日18:48 正解数: 1 / 解答数: 4 (正答率: 25%) ギブアップ数: 0

問題文

以下の漸化式で与えられる数列${a_n},{b_n}$を考える。ただし、$n$は非負整数であるとし、${a_n}$の初項は$a_0=1$とする。
$\displaystyle a_{n+1}=\sum_{k=0}^na_ka_{n-k} , \displaystyle b_{n+1}=\sum_{k=0}^n (k+1)a_ka_{n-k}$
(1)$b_n$を$a_n$で表わせ。
(2)$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}a_n$を証明せよ。
(3)それぞれの数列の一般項$a_n,b_n$を求めよ。
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$を求めよ。ただし$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n+1)}{n}=0$を証明無しで用いても良い。

解答形式

(4)の答えを半角数字またはTeXで入力してください。
(1)~(3)についてはお手持ちの紙に解答し、解説を確認ください。


ヒント1

(1)$1+2+3+……+100$を解いたガウスの方法を踏襲してみましょう。

ヒント2

(2)数学的帰納法です。$b_n$はこのために必要だったわけです。

ヒント3

(3)まあ積の形なので楽勝でしょうか。

ヒント4

(4)(3)の結果を代入し、挟み撃ちで求めましょう。必要に応じて$\log$を取ると良いでしょう。


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解答提出

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$$
\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx
$$

を計算せよ。

解答形式

piまたは 355/113 で解答してください。

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定積分

$$
\int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos{x}-x}{1+\sin{x}}dx
$$

を計算せよ。

回答形式

半角数字で答えよ。無理数や記号等を用いる場合はTeX形式で入力せよ。

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ピザが1枚ずつ乗った $N\;(\geq 2)$ 枚の皿が横一列に並んでいます.ピザにはがあり,表には具がのっていて,裏にはのっていません.はじめ,すべての皿のピザは表が上になっています.これらのピザに対して,次の操作Xを考えます.

操作X:

  1. 隣り合う2枚の皿に着目し,左側の皿に乗っているピザをひっくり返し,右側の皿の一番上に重ねる.ピザが複数枚乗っている場合は,ピザを重ねたまままるごとひっくり返す.
  2. 左側の皿を取り除き,皿どうしのすき間を詰める.

この操作Xを$\;N-1\;$回繰り返すと,1枚の皿にピザの塔ができます.操作Xの $N-1$ 回の繰り返しをピザの調理ということにします.ピザの塔を構成するピザを,上から順に$\;P_i\; (i=1,\cdots, N)\;$とし,$P_i$ が表を上に向けているとき「表」,裏を上に向けているとき「裏」と書くことにすると,ピザの塔は「裏裏裏表」のように表すことができます.

$N=6$とします.「裏裏裏裏表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.

解答形式

半角数字で入力してください.

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$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。

$$
a^2-4b-1=0\\
b^2-8c+28=0\\
c^2-6a+2=0\\
$$

解答形式

a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。

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問題文

https://pororocca.com/problem/19/
こちらの問題の設定で,「裏裏裏裏裏表表表表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.

解答形式

半角数字で入力してください.

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問題文

$m$ と $n$ を互いに素な自然数とします.実数係数多項式 $f(x)$ が次の性質をもっているとき,$f(x)$ を $m,n$-生成の多項式と呼ぶことにします.

  • 性質:すべての実数係数多項式 $g(x)$に対して,$f(x)g(x)=h(x^m, x^n)$ となるような実数係数の2変数多項式 $h(x,y)$ が存在する.

$x^k$ がすべての $10,n$-生成の多項式を割り切るような最大の自然数 $k$ は


です.ただし,単項式も多項式に含まれるとします.

解答形式

センター試験方式です.ア,イ,ウにはそれぞれ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 および -,a,b,c,d のいずれか1文字が当てはまります.ア,イ,ウに 1, 2, 3 が当てはまるなら,123 と回答してください.

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\begin{equation}
S=\{ A\in {\rm GL}(2,\mathbb{R})\mid \forall X\in {\rm GL}(2,\mathbb{R}), AX=XA\}
\end{equation}

で定めるとき

\begin{equation}
S=\{ rE \mid r\in \mathbb{R}, r\neq 0\}
\end{equation}

であることを証明せよ.

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条件:長音記号「ー」が文字列の先頭にくることはなく,連続して現れない.


例えば,「ボボー」や「ボーボボ」はボー文字列ですが,「ーボー」や「ボボーー」はボー文字列ではありません.

ボー文字列に対して,次の操作を行うことを考えます.


操作:ボー文字列に対して,次のうちいずれか一方を行う.

  • (A)文字列のどこか1ヶ所に長音記号「ー」を付け加える.
  • (B)文字列の末尾に「ボ」を付け加える.

ただし,得られた文字列はボー文字列でなければならない.


1文字「ボ」から始めて,ボー文字列に対してくり返し操作を行い $n$ 文字からなるボー文字列が得られたとします.異なる操作の仕方の総数を $a_n$ とするとき,$a_{10}$ を求めなさい.

解答形式

半角数字で入力してください。

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(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

解答方法

解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。

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(1) 定積分

$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$

の値を求めよ。

(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を

$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$

で定める。定積分

$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$

の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。

備考

この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。

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$\pi$ が $\dfrac{1000\pi}{1001}\risingdotseq 3.13845\cdots$ よりも大きいことを示せ