三角関数の計算

問題文

$2^{p}+7^{q}=r^{p+q-r}$を満たす素数の組$(p,q,r)$をすべて求めよ．

解答形式

文字列$pqr$を，半角数字で解答してください．解が複数ある場合は，
(1)　$p$の値が小さい順
(2)　$p$の値が等しい組は，$q$の値が小さい順
(3)　$p,q$の値がともに等しい組は，$r$の値が小さい順
に，1行に1つずつ書いてください．

追記

どなたか素数に限らない整数解を全て求めてくださるとありがたいです．

$\vec{x}=(1,\ p^{ \frac{1}{p}} )$ なるベクトル $\vec{x}$ の $L^{p \to +0}$ ノルムの値を求めよ．

次の式を因数分解しなさい

$2(x-y)^2-xy(x^2+2xy+y^2-3)+(2x+2y)^2-(x+y)^2+xy[(x+y)(x-y)+2y(x+y)+5]$

解答形式

半角で解答のみを記入すること

降べきの順で記入すこと

同じ項の中にx,yが同時にある場合、xを先に記入すること

指数の表記は　^n　の形で解答すること

括弧の外にある係数は左側に記入すること

括弧内の項は、文字　数　の順に記入すること

【補助線主体の図形問題 #083】
　今週の図形問題です。暗算では処しがたい計算が待ち受けていますので、ぜひ紙＆ペンをお供に挑戦してみてください。

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

問題文

図の条件の下で，半円の直径 $x$ を求めてください．

解答形式

$x^2$ の値を半角数字で解答してください．

問題文

図の条件の下で、青で示した角の大きさ $x$ を求めてください。

解答形式

$x=a$ 度（$0\leq a\lt 180$）です。整数 $a$ の値を半角数字で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #080】
　今週も補助線の威力が感じられる図形問題を用意しました。若干面倒な計算が待っているので、紙＆ペンがあると安心かもしれません。存分に補助線による試行錯誤をお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

問題文

$2^{p+q}-p^{q}=13$を満たす素数$\left(p,q\right)$をすべて求めよ．

解答形式

$p^{2}+q^{2}$の値を，半角数字で解答してください．答えが複数ある場合は，値の小さい順に，1行に1つずつ書いてください．

（例）
解答が$\left(p,q\right)=\left(2,7\right),\left(5,11\right)$のときは，以下のように解答します．

53
146

問題文

$2^{n}+6n+1$が平方数となるような自然数$n$の値をすべて求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．解が複数ある場合は，小さいものから順に，1行に1つずつ書いてください．

問題文

次の計算をせよ．

$$
\sum_{k=1}^{2023}\sec\dfrac{6k-5}{6069}\pi\quad
$$

ただし，$\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$とする．

解答形式

解答は整数となります．そのまま半角で入力してください．

問題文

2曲線
$
\begin{cases}
y=2x^3+10x^2+12x+7 \newline
y=x^2+5x+13
\end{cases}
$
で囲まれる部分の面積$S$を求めよ。

解答形式

答えは
$\displaystyle\frac{[abc]}{[de]}$
という形になります。($a,b,c,d,e$は1桁の自然数)
センター、共通テスト方式で答えてください。
例:
$S=\displaystyle\frac{765}{13}$のときは「76513」と入力する。

【補助線主体の図形問題 #082】
　今週の図形問題です。今回は解法の多そうな問題を用意してみました。補助線を頼りに思い思いの解法を楽しんでもらえたら嬉しいです。

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。