三角関数の計算⑵

問題文

$\dfrac{1}{\cos\dfrac{\pi}{9}}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{5}{9}\pi}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{7}{9}\pi}=-\dfrac{a}{b}$ ( $a,b$ は互いに素な自然数)である．

$a+b$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください。

簡単です．教科書にもありそうなつまらない問題ですが，一応2通りの解法を用意しているので，考えていただけたら幸いです．

問題文

n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。

量 $Q_n$ を次のように定義する。
$$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$
ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。

次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$

ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。

解答形式

半角で

問題文

$AB=AC=3$ なる $\triangle ABC$ がある．辺 $BC$ の $C$ 側の延長上に，$AD=5$ なる点 $D$ をとる．$\triangle ABD$ の外接円において，$B$ を含まない弧 $AD$ 上に，$DE=4$ なる点 $E$ をとる．直線 $CE$ と $\triangle ABD$ の外接円との交点のうち，$E$ でないものを $F$ としたら，$EF=\dfrac{48}{\sqrt{91}}$ となった．このとき，
$$
BF=\dfrac{a}{b}
$$
である．ただし，$a,b$ は互いに素な自然数である．

$\boldsymbol{\underline{a^{2}+b^{2}}}$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

$\vec{x}=(1,\ p^{ \frac{1}{p}} )$ なるベクトル $\vec{x}$ の $L^{p \to +0}$ ノルムの値を求めよ．

問題文

半円と平行四辺形が図のように配置されています。赤い三角形の面積が3のとき、青い線分の長さを求めてください。

※平行四辺形の一辺と半円は接する。

解答形式

$$x=\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イウ}-\fbox エ\sqrt{\fbox オ}}$$と表せるので、文字列 アイウエオ を解答してください。ただし、$\fbox ア～\fbox オ$には0以上9以下の整数が入ります。

問題

次の実数 $a,b,c$ に対し，つねに $|ax+by|\leqq |c|$ となる実数 $x,y$ の和の値域幅を求めよ．

• $p,q$ の連立方程式 $ap+bq=c,\ (b-c)p+(c+a)q=a+7b$ は解を複数個もつ．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

(2021.3.13 15:56 追記)　解答に誤りがあったため修正しました。

次の不等式を満たす最大の自然数$n$を求めてください。
$$
2^{n+1}-10\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{2^{k-1}}{5} \rfloor \le 20210220
$$ただし、$\lfloor x\rfloor$は$x$を超えない最大の整数を表します。

解答形式

半角数字で解答してください。

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1辺が8cmの正方形ABCDの内部に点E・Ｇ・Ｈがあり、外部に点Fがあります。
BE=AF・CE=DFで、△EGCと△HGBは直角二等辺三角形です。
このとき、△AFHと△EGHの面積の合計は何cm²か、求めてください。
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▸解答形式

単位不要。半角入力。
〔例〕　12cm²と答えたいとき　→　「 12 」

次の式を因数分解しなさい

$2(x-y)^2-xy(x^2+2xy+y^2-3)+(2x+2y)^2-(x+y)^2+xy[(x+y)(x-y)+2y(x+y)+5]$

解答形式

半角で解答のみを記入すること

降べきの順で記入すこと

同じ項の中にx,yが同時にある場合、xを先に記入すること

指数の表記は　^n　の形で解答すること

括弧の外にある係数は左側に記入すること

括弧内の項は、文字　数　の順に記入すること

問題文

初めに$N$枚のコインを持っています。下記のルールを守ってゲームを$m$回するとき、最後に持っているコインの枚数としてありえる枚数は$K$通りあります。このとき場合の数$K$を最大化するための$m$を答えてください。

ルール

• コインゲーム筐体は$n$台あり一列に並んでいます。
• 左から$i$番目の筐体でゲームをするにはコインを$i$枚消費します。
• 1つの筐体につき一度しかゲームをできません。
• ゲームに成功するとその筐体で消費した枚数の倍の枚数のコインが手に入ります。
• ゲームに失敗するとコインは一枚も手に入りません。
• 筐体は好きな順番でゲームをすることができます。

制約

• $1 \le m \le n$
• $2 \le n $
• $ n^2 < N $

解答形式

半角英数と下記の半角記号で答えてください。

半角記号

()+-/^!

例

x^(n-1)/(x+y)!

問題文

$\quad$
鈍角三角形の三辺の長さが $40_{(N)},$ $399_{(N)},$ $401_{(N)}$ である.
自然数 $N$ の満たす条件を求めよ.
$$\quad$$

解答形式

半角で入力してください.
$N$ の値が一意に定まる場合は, その値を入力してください.
$N$ の値に範囲がある場合は, 最小値~最大値 という形式で入力してください.
ただし, 最大値が存在しない場合は, 最小値~ という形式で入力し, 複数の区間が存在する場合は最小値の小さいものから改行区切りで入力してください.
$\mathrm{ex})$ 解答が $N=17,~22≦N≦30,~330≦N$ の場合
　　17
　　22~30
　　330~

問題文

3本の杭と中央に穴のあいた大きさの異なる$n$枚の円盤があります。いま、杭の1つにすべての円盤が小さいものが上にくるように積み重なっています（初期状態）。この状態から下記のルールを守りながら操作を行うとき、初期状態から到達し得る状態は何通りありますか。ただし初期状態も1通りと数え、また3本の杭は区別することとします。

例えば「左端の杭に大きさ1から$n$の全ての円盤が積み重なっている状態」を1つ、そこから操作を一回だけ行い、「左端に大きさ2から$n$の円盤、真ん中に大きさ1の円盤が積み重なっている状態」を1つ、のように状態の数をカウントします。また、「真ん中の杭に大きさ1から$n$の全ての円盤が積み重なっている状態」と、「右端の杭に大きさ1から$n$の全ての円盤が積み重なっている状態」のように杭が異なる場合もそれぞれ別の状態としてカウントします。

ルール

• 円盤は一回に一枚ずつしか移動できない。
• 小さな円盤の上に大きな円盤を乗せることはできない。

解答形式

半角英数字と下記の半角記号で答えてください。式中にスペースを含めないでください。

使える記号

• 「+」加算
• 「-」減算
• 「*」乗算
• 「/」除算（分数）
• 「( )」かっこ
• 「^」冪乗
• 「!」階乗