三角関数の計算

hkd585 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2022年11月12日17:58 正解数: 2 / 解答数: 2 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0
三角関数

解説

解答は,$\boldsymbol{7}$

【解1・積和公式と和積公式の利用】
与式$=\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{9}\cdot\cos\dfrac{5}{9}\pi+\cos\dfrac{5}{9}\pi\cdot\cos\dfrac{7}{9}\pi+\cos\dfrac{7}{9}\pi\cdot\dfrac{\pi}{9}}{\cos\dfrac{\pi}{9}\cdot\cos\dfrac{5}{9}\pi\cdot\cos\dfrac{7}{9}\pi}$ …①
①の分子を$A$,分母を$B$とする.このとき,
 $A=\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{4}{9}\pi+\cos\dfrac{2}{3}\pi\right)+\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{2}{9}\pi+\cos\dfrac{4}{3}\pi\right)$
    $+\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi+\cos\dfrac{8}{9}\pi\right)$
  $=\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{2}{9}\pi+\cos\dfrac{4}{9}\pi+\cos\dfrac{8}{9}\pi\right)-\dfrac{3}{4}$
  $=\dfrac{1}{2}\left(2\cdot\cos\dfrac{\pi}{3}\cdot\cos\dfrac{\pi}{9}+\cos\dfrac{8}{9}\pi\right)-\dfrac{3}{4}$
  $=\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{9}+\cos\dfrac{8}{9}\pi\right)-\dfrac{3}{4}$
  $=-\dfrac{3}{4}$
 $B=\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{4}{9}\pi+\cos\dfrac{2}{3}\pi\right)\cdot\cos\dfrac{7}{9}\pi$
  $=\dfrac{1}{2}\cdot\cos\dfrac{4}{9}\pi\cdot\cos\dfrac{7}{9}\pi-\dfrac{1}{4}\cos\dfrac{7}{9}\pi$
  $=\dfrac{1}{4}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos\dfrac{11}{9}\pi\right)-\dfrac{1}{4}\cos\dfrac{11}{9}\pi$
  $=\dfrac{1}{8}$
したがって,
与式$=\dfrac{A}{B}=-6\left(=-\dfrac{6}{1}\right)$
求めるべき値は,$6+1=7 \square$

【解2・3次方程式の解と係数の関係】
与式$=\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{9}\cdot\cos\dfrac{5}{9}\pi+\cos\dfrac{5}{9}\pi\cdot\cos\dfrac{7}{9}\pi+\cos\dfrac{7}{9}\pi\cdot\dfrac{\pi}{9}}{\cos\dfrac{\pi}{9}\cdot\cos\dfrac{5}{9}\pi\cdot\cos\dfrac{7}{9}\pi}$ …①
次に, $\cos3x=\dfrac{1}{2}$…② とする.このとき,$\cos x=t$ とおくと,3倍角の公式より,
   $4t^{3}-3t-\dfrac{1}{2}=0$ …③
が成り立つ.一方,$x=\dfrac{\pi}{9},\dfrac{5}{9}\pi,\dfrac{7}{9}\pi$ は,いずれも②の解である.これらを $\alpha,\beta,\gamma$ とする.このとき,$\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ は相異なる実数であり,かついずれも③の解であるが,3次方程式の実数解の個数は高々3個であるから,これらが③のすべての解である.したがって,解と係数の関係より,
   $\cos\alpha\cos\beta+\cos\beta\cos\gamma+\cos\gamma\cos\alpha=-\dfrac{3}{4}$
   $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=-\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{4}=\dfrac{1}{8}$
ゆえに,① $=\dfrac{-\dfrac{3}{4}}{\dfrac{1}{8}}=-6\left(=-\dfrac{6}{1}\right)$
求めるべき値は,$6+1=7 \square$


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 入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。


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(例) $12^{\circ}$ → $\color{blue}{12.00}$  $\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
 入力を一意に定めるための処置です。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。