ネタ

問題文

$\dfrac{1}{\cos\dfrac{\pi}{9}}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{5}{9}\pi}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{7}{9}\pi}=-\dfrac{a}{b}$ ( $a,b$ は互いに素な自然数)である．

$a+b$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください。

簡単です．教科書にもありそうなつまらない問題ですが，一応2通りの解法を用意しているので，考えていただけたら幸いです．

問題文

次の計算をせよ．

$$
\sum_{k=1}^{2023}\sec\dfrac{6k-5}{6069}\pi\quad
$$

ただし，$\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$とする．

解答形式

解答は整数となります．そのまま半角で入力してください．

【補助線主体の図形問題 #083】
　今週の図形問題です。暗算では処しがたい計算が待ち受けていますので、ぜひ紙＆ペンをお供に挑戦してみてください。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

次の式を因数分解しなさい

$2(x-y)^2-xy(x^2+2xy+y^2-3)+(2x+2y)^2-(x+y)^2+xy[(x+y)(x-y)+2y(x+y)+5]$

解答形式

半角で解答のみを記入すること

降べきの順で記入すこと

同じ項の中にx,yが同時にある場合、xを先に記入すること

指数の表記は　^n　の形で解答すること

括弧の外にある係数は左側に記入すること

括弧内の項は、文字　数　の順に記入すること

4×4の16マスがある。このマス目を赤、青、黄、緑で塗ることを考える。

A：縦と横のどの辺をとっても赤、青、黄、緑が一回ずつ出現する。
B：以下のように4つの部屋に分割したときにどの部屋をとっても赤、青、黄、緑が1回ずつ出現する。
□□｜□□
□□｜□□
＿＿｜＿＿
□□｜□□
□□｜□□

AとBを両方満たす塗り方は何通りありますか？
（例：30通りだったら、30と答えなさい）

【補助線主体の図形問題 #080】
　今週も補助線の威力が感じられる図形問題を用意しました。若干面倒な計算が待っているので、紙＆ペンがあると安心かもしれません。存分に補助線による試行錯誤をお楽しみください。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

$a$と$r$を正の実数とし, $a>\frac{1}{2}$であるものとします.
放物線$K$と円$L$を次のように定めます.
$$K: y=x^2\,\,,\,\,L: x^2+(y-a)^2=r^2$$このとき, $K$と$L$は接しています.その接点を第2象限にあるものを$A$, 第1象限にあるものを$B$とし, 円$L$の中心を$P$, 直線$AP$と円$L$の$A$でない交点を$C$, $x$軸との交点を$Q$とします.また, △$ABC$の面積を$S$,
四角形$PQOB$の面積を$T$とするとき, 次の等式を満たしました.$$\frac{T}{S}=689$$$a$は1つの非負整数に定まりますのでその値を求めてください.

解答形式

非負整数を半角で入力してください.

問題文

数列{a_n}を,
a_1=log2 , a_(n+1)=(na_n+log(2n+1)+log2)/(n+1)
によって定める。
このとき, この数列の一般項 a_n および 極限値 lim(n→∞) (a_n-logn) をそれぞれ求めよ。

記述解答(大雑把で良い)でお願いします。

問題文

級数
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}-\frac{1}{14}-\frac{1}{15}-\frac{1}{16}+\cdots$$
の収束値を求めよ. ただし, この級数の第 $n$ 項の絶対値は $\dfrac{1}{n}$ であり, 各項の符号は $4$ 項ごとに交代する.

解答形式

収束値は $\fbox{A}\text{ - }\fbox{F}$ をいずれも自然数として最も簡単な形で $\displaystyle{\frac{\fbox{A}+\fbox{B}\sqrt{\fbox{C}}}{\fbox{D}}\pi+\frac{\log{\fbox{E}}}{\fbox{F}}}$
と 表されます. 文字列 $\fbox{A}\,\fbox{B}\,\fbox{C}\,\fbox{D}\,\fbox{E}\,\fbox{F}$ を解答してください.

【補助線主体の図形問題 #082】
　今週の図形問題です。今回は解法の多そうな問題を用意してみました。補助線を頼りに思い思いの解法を楽しんでもらえたら嬉しいです。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

2021.3.21 22:28 問題タイトルを修正しました。（解答に影響はありません）
正三角形の内接円と外接円があります。図のように線分の長さが与えられたとき、正三角形の一辺の長さを求めてください。

解答形式

答えは$\fbox ア\sqrt{\fbox イ}$となります。文字列 アイ を解答してください。
ただし、$\fbox ア,\fbox イ$には一桁の自然数が入ります。また、根号の中身が平方数の倍数にならないように解答してください。

高さが100cmで底面積が600cm²の直方体の形をした水槽がある。この水槽は通常の水槽とは異なり、水槽の底面を上下移動させることができる。（底面が移動するとそれに伴って水も移動するため、水面も移動する。）
まず、底面を1番下にした状態で毎分500cm³で40分間、水を入れた。
次に底面を上にXcm移動させた。
そして底面が上に移動した状態で毎分600cm³で60分間、水を入れた。
そして底面を上にXcm移動させると、4000 cm³ だけ水が溢れ出た。

この時、Xの値を求めなさい。ただし分数になる場合は以下のように答えなさい。

（例　1/2の場合は12 54/73の場合は5473 22/23の場合は2223 と答える ）