求値問題2

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年10月10日18:57 正解数: 2 / 解答数: 5 (正答率: 40%) ギブアップ数: 0

解説

$△XYZ$について、$X=\pi-2A,Y=\pi-2B,Z=\pi-2C$である。また、一般に$△ABC$について外接円の半径を$R$、内接円の半径を$r$とすると次の式が成り立つ。
$$
r=4R\sin{\frac A2}\sin{\frac B2}\sin{\frac C2}
$$
これを用いると、$△XYZ$の外接円の半径を$R$として、
$$
r'=4R\sin{\frac X2}\sin{\frac Y2}\sin{\frac Z2}=4R\cos A\cos B\cos C
$$
となり、さらに$△XYZ$の外接円は$△ABC$の九点円であることから$△ABC$の外接円の半径は$2R$となり、
$$
r=4\times2R\sin{\frac A2}\sin{\frac B2}\sin{\frac C2}
$$
が成り立つ。したがって問題の式は以下のように変形される。
$$
\frac{r}{r'}\cos{\frac A2}\cos{\frac B2}\cos{\frac C2}=\frac{R}{4R}\frac{\sin A\sin B\sin C}{\cos A\cos B\cos C}=\frac 14\tan A\tan B\tan C
$$
ここで、$A+B+C=\pi$のとき$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C$であり、$0\leq x< \frac{\pi}{2}$において$\tan x$が下に凸であることから次のように最小値が求まる。
$$
\frac 14\tan A\tan B\tan C=\frac 14(\tan A+\tan B+\tan C)\geq\frac 34\tan{\left (\frac{A+B+C}{3}\right )}=\frac{3\sqrt3}{4}
$$


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※2020.11.10 18:49 問題タイトルを修正しました。
(解答に影響はありません)

図中の線分ABの長さを求めてください。
緑で示した2つの三角形の面積の差は11,赤と青で示した線分の長さの差は1です。

解答形式

半角数字で解答してください。

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半角数字で解答してください。

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ただし、図中"center"で示した点は正六角形の外心です。

解答形式

0~360までの半角数字で、「°」や「度」をつけずに解答してください。

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解答形式

半角数字で解答してください。

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【解答形式に注意!】

半径と中心角が等しい扇形に正方形が内接しています。青い正方形と赤い正方形の面積の大小関係を調べてください。
ただし、同じ印をつけた部分の長さは等しいです。

解答形式

(青の面積) > (赤の面積) なら 1
(青の面積) = (赤の面積) なら 2
(青の面積) < (赤の面積) なら 3
を、半角数字で解答してください。

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三角形の3つの内角の大きさを$A,B,C$とします。このとき、次の式の最小値を求めてください。
$$
\frac{1-\cos A}{\cos B+\cos C}+\frac{1-\cos B}{\cos C+\cos A}+\frac{1-\cos C}{\cos A+\cos B}
$$

解答形式

最小値は$\frac {[ア]}{[イ]}$となります。$[ア]+[イ]$を解答してください。
ただし、$[ア],[イ]$にはそれぞれ自然数が入り、その最大公約数は$1$とします。

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円の一部を折り返した図形です。赤、青の線分の長さがそれぞれ
7,3のとき、円の半径を求めてください。(解答形式に注意!)
折り返した円弧部分は元の円の中心を通ります。
Mは弧ABの中点です。
2020/07/04/13:29 解答に誤りがあったため更新しました。

解答形式

$自然数A,B,Cを用いてradius=\frac{A\sqrt{B}}{C} と表せます。
A+B+Cを解答してください。$
$A,Cは既約分数の形に、Bは根号の中が最小となるようにしてください。$
$例: \frac{4\sqrt{18}}{6}=2\sqrt{2}→A=2,B=2,C=1→5と解答$

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半角数字で解答してください。

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