求値問題2

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年10月10日18:57 正解数: 6 / 解答数: 9 (正答率: 66.7%) ギブアップ数: 0

解説

$△XYZ$について、$X=\pi-2A,Y=\pi-2B,Z=\pi-2C$である。また、一般に$△ABC$について外接円の半径を$R$、内接円の半径を$r$とすると次の式が成り立つ。
$$
r=4R\sin{\frac A2}\sin{\frac B2}\sin{\frac C2}
$$
これを用いると、$△XYZ$の外接円の半径を$R$として、
$$
r'=4R\sin{\frac X2}\sin{\frac Y2}\sin{\frac Z2}=4R\cos A\cos B\cos C
$$
となり、さらに$△XYZ$の外接円は$△ABC$の九点円であることから$△ABC$の外接円の半径は$2R$となり、
$$
r=4\times2R\sin{\frac A2}\sin{\frac B2}\sin{\frac C2}
$$
が成り立つ。したがって問題の式は以下のように変形される。
$$
\frac{r}{r'}\cos{\frac A2}\cos{\frac B2}\cos{\frac C2}=\frac{R}{4R}\frac{\sin A\sin B\sin C}{\cos A\cos B\cos C}=\frac 14\tan A\tan B\tan C
$$
ここで、$A+B+C=\pi$のとき$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C$であり、$0\leq x< \frac{\pi}{2}$において$\tan x$が下に凸であることから次のように最小値が求まる。
$$
\frac 14\tan A\tan B\tan C=\frac 14(\tan A+\tan B+\tan C)\geq\frac 34\tan{\left (\frac{A+B+C}{3}\right )}=\frac{3\sqrt3}{4}
$$


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半角数字で解答してください。

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※2020.11.10 18:49 問題タイトルを修正しました。
(解答に影響はありません)

図中の線分ABの長さを求めてください。
緑で示した2つの三角形の面積の差は11,赤と青で示した線分の長さの差は1です。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題

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問題文

(2020.9.26 11:57追記)
解答形式に不備があったため、訂正致しました。

図の青、緑、赤の線分の長さを$X,Y,Z$、斜線部の面積を$S$とすると、次の式が成り立つ。
$$
\frac{[ア]}{S}=\frac{[イ]}{Z}\left(\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}\right)
$$

なお、図の曲線は半円の弧である。

解答形式

$[ア],[イ]$にはともに自然数が入ります。その和を半角数字で解答してください。
ただし、その和が最小となるように解答してください。
例:$[ア]=4,[イ]=2$なら$6$ではなく(両辺を$2$で割ることにより)$3$と解答。

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半角数字で解答してください。

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$$
\frac{1-\cos A}{\cos B+\cos C}+\frac{1-\cos B}{\cos C+\cos A}+\frac{1-\cos C}{\cos A+\cos B}
$$

解答形式

最小値は$\frac {[ア]}{[イ]}$となります。$[ア]+[イ]$を解答してください。
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半角数字で解答してください。

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2021.05.09 12:24 問題タイトルを修正しました。(解答に影響はありません)

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面積は、
$$
\fbox{アイ}+\frac{\fbox{ウエ}\sqrt{\fbox{オカ}}}{\fbox{キ}}
$$
となります。$\fbox ア~\fbox キ$には0以上9以下の整数が入ります。文字列「アイウエオカキ」を解答してください(「」は不要)。ただし、根号の中身や分数は最も簡単な形にしてください。

例$$
面積S=17+\frac{22\sqrt{52}}{8}\rightarrow 17+\frac{11\sqrt{13}}{2}\rightarrow 1711132 と解答
$$

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半角数字で解答してください。