面積の確率
2026年2月19日20:03
正解数: 2 /
解答数: 3
(正答率: 66.7%)
ギブアップ数: 0
1. 正十二角形の面積と条件の整理
正十二角形の外接円の半径を $R$ とすると、全体の面積 $S$ は次のように表せます。
$$ S = 12 \times \left( \frac{1}{2} R^2 \sin 30^\circ \right) = 3R^2 $$
多角形の面積が $S \times \frac{1}{3} = R^2$ となる頂点の集合 $V$ は、以下の 30通り です。
- 三角形 (12種類)：頂点の間隔が $(3, 3, 6)$ のもの
$$ \text{面積} = \frac{1}{2}R^2 (\sin 90^\circ + \sin 90^\circ + \sin 180^\circ) = R^2 $$ - 四角形 (18種類)：頂点の間隔が $(1, 1, 5, 5)$ のもの
$$ \text{面積} = \frac{1}{2}R^2 (\sin 30^\circ + \sin 30^\circ + \sin 150^\circ + \sin 150^\circ) = R^2 $$
2. 5回の試行における出現パターン数
全事象は $12^5 = 248,832$ 通りです。
- 3頂点の集合（12種）が選ばれる場合
特定の3つの頂点が5回の試行で過不足なく選ばれる並べ方は $150$ 通り。
$$ 12 \times 150 = 1,800 \text{ 通り} $$ - 4頂点の集合（18種）が選ばれる場合
特定の4つの頂点が5回の試行で過不足なく選ばれる並べ方は $240$ 通り。
$$ 18 \times 240 = 4,320 \text{ 通り} $$
3. 確率の計算
求める確率は、これらの合計を全事象で割ったものです。
$$ \text{確率} = \frac{1,800 + 4,320}{12^5} = \frac{6,120}{248,832} $$
これを約分すると、最終的な答えは以下の通りとなります。
$$ \text{答え：} \frac{85}{3,456} $$
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