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$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とし，頂点 $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．また，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $AEF$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $K$ とします．ここで，線分 $EF$ 上の点 $S$ を $\angle SHO = 90^{\circ}$ となるように取ると，四角形 $KSHD$ は凹四角形となりさらに以下が成り立ちました． $$ KS : SH : HD = 21 : 9 : 8 \sqrt{5} , \quad DK = 20 $$ このとき，線分 $BC$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．
正の整数を半角で解答．
鋭角三角形 $ABC$ について， $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし，線分 $AD$ の中点を $M$ とする. 辺 $AC$ 上に点 $E$ を $\angle CDE=\angle BAD$ となるようにとり，辺 $AB$ 上に点 $F$ を $FM \parallel DE$ となるようにとる. また三角形 $AFM$ の外接円を $ω_1$ とし，$F$ とともに $ω_1$ の直径をなす点を $G$ とする. 直線 $GB$ と直線 $ED$ の交点を $H$ とすると，$\angle GCH=2\angle BAD$ が成り立った. そして三角形 $GCH$ の外接円を $ω_2$ とし，$ω_2$ 上に直線 $AD$ に関して $B$ と反対側に $I$ をとると，$\angle BFD=\angle DMI,\angle IGB=\angle ABC$ がともに成り立った. このとき $\lfloor 10^6\cos \angle ABC \rfloor$ を求めよ.
自然数 $p,q,r$ を $$ \dfrac{pqr^{2}2^{3p+5}3^{q+5}}{p^2qr2^{4p+6}3^{q+7}+p2^{5p+9}3^{2q+5}+q^{2}r^{5}}$$
が整数となるように動かすとき，$p+q+r$ の最小値を求めよ.
鋭角三角形 $ABC$ において、各辺の長さは $AB = 15, BC = 14, CA = 13$ である。 点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし、線分 $AD$ を直径とする円をかく。 直線 $AB, AC$ と円の $A$ と異なる交点をそれぞれ $E, F$ とし、直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とする。 点 $P$ から円に引いた 2 本の接線の接点を $T_1, T_2$ とするとき、線分 $T_1T_2$ の長さを求めよ。
答えは$$\frac{a}{b}$$と表せるので${a+b}$を答えよ。
素数の組 $(p,q)$ であって，以下を満たすものを全てに対する， $2$ つ目の条件である「平方数」の総和を求めよ.
$p \leq 2q$
$p^3+\dfrac{q!}{2}-3$ が平方数となる
四角形$ABCD$があり、次の条件を満たします。
$∠A=∠B=∠C, ∠D=135°, BC=4\sqrt{6}, CD=8$
この四角形の面積$S$は$a + \sqrt{b}$の形で表されるので、$a + b$を解答してください。
半角数字で答えをそのまま入力。
問題に不備等あればtwitterのDMなどで気軽にお願いします。 Tex初めて使いました。 問題思いつくのは簡単なんですけど、解説は未だに上手く書けませんね…
鋭角三角形 $ABC$ において，$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし，$H$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足を $D$ とする. また三角形 $ABC,AHD$ の外接円をそれぞれ順に $Γ,ω$ とし，$Γ$ と $ω$ の交点であって $A$ とは異なるものがあったのでこれを $X$ とし，三角形 $BCD$ の外心を $O$ とすると，以下が成り立った. $$HX=5,HD=3,XO=7$$ このとき線分 $BD$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b}}{a}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めよ.
三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，垂心を$H$とします.三角形$DEF$の外接円と三角形$HBC$の外接円の交点を$P,Q$とし，$EF$の中点を$M$とします.直線$HM$と直線$PQ$の交点を$R$とすると，$DR$は$AB$の中点を通り，$BC$の中点を$N$とすると，$$ND＝2 CE＝5$$が成立しました.このとき，$AB$の長さの二乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a +b$の値を解答して下さい.
半角で解答して下さい.
$AD \parallel BC$ なる台形 $ABCD$ があり，直線 $AC$ 上に $P$ をとると，$\angle PBC=\angle BCD$ 及び以下が成り立った.
$$AD=12,DC=14,PB=20,PC=25$$
このとき，線分 $BC$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を求めよ.
緑色の正方形ABCDと、紫色の正方形EFGHがあり、それぞれ1辺6cmである。点Aと点E、点Bと点F、点Cと点G、点Dと点Hがそれぞれ重なるように正方形を重ねる。(緑色の正方形が上にある。) そして辺ABを3等分する点をとり、点Aに近い方を点Iとする。また辺EFを3等分する点をとり、点Fに近い方を点Jとする。 今、緑色の正方形のみを重心を中心として回転させ、点Iと点Jが重なったところで回転を止めた。このとき、上から見える紫色の部分の面積の合計はいくらか。
答えは◯cm^2となるので、◯の部分のみを答えてください。
2年前(小6)のときにルービックキューブを触りながら作った問題です。問題文が長ったらしくて読みにくいと思いますがご了承ください。ちなみにこの問題は当時scratchにも投稿しました。
三角形 $ABC$ について，線分 $BC$ の中点を $M$ とし，$\angle ABC$ の二等分線と直線 $AM$ との交点を $D$ とすると，以下が成立した． $$BC=4,\angle ADB=\angle AMC=3\angle BAM$$このとき，線分 $AC$ の長さの二乗は正整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt b$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
半角数字で入力してください。
三角形 $ABC$ について，その垂心を $H$ ，外心を $O$ とする．直線 $BH$ と直線 $AC$ との交点を $E$ ，直線 $CH$ と直線 $AB$ との交点を $F$ とすると，$3$ 点 $E,O,F$ は同一直線上にあった．$AH=8,AO=6$ のとき，四角形 $EFBC$ の面積の二乗の値を求めよ．
