円錐の表面積

問題

1辺が$4$の$正三角形ABC$があり、その内部に$点D$をとる。$点D$から$辺AB,BC,CA$に垂線を引き、それぞれの辺との交点を$点E,F,G$とする。$(DE)^{2}+(DF)^{2}+(DG)^{2}=4$であるとき、$△EFG$の面積は、$\sqrt{a}$と表せる。このときの$a$の値を求めてください。

問題

$四角形ABCD$は平行四辺形で対角線の交点を$点E$とし、$対角線BD$上に$点F$をとる。
$BF=\frac{1}{2}FD$,$CE=CF$,$\angle CBF+\angle CFE=90°$,$AD=10$の時、$四角形ABCD$の面積は？

解答形式

$a\sqrt{b}$の形になるので、$a+b$の値で答えてください。

問題

1辺が$2$の$正方形ABCD$と$正三角形ADE$($辺AD$を共有し、$\angle EAB=150°$)がある。$EB$上に$点F$をとり、$点F$と、$点C$を結んだ。
そして、$\angle GFC=\angle HFC=120°$となる$点G$、$点H$をそれぞれ$辺EA,ED$上にとった。
このとき次の問いに答えよ。
ただし、$GF+HF+CF=2+\frac{4\sqrt{3}}{3}$とする。
(1)$\angle BFC=a°$とするとき、$a$の値を求めよ。

(2)$BE$の長さを$\sqrt{x}+\sqrt{y}$とするとき、$x+y$の値を求めよ。

(3)$点G,H,F$を通る円の面積は、次のようになる。
$$\frac{a}{b}\pi$$
このときの$a+b$の値を求めよ。

解答形式

行ごとのジャッチのため、一行目に(1)の答えを、二行目に(2)の答えを、三行目に(3)の答えを解答してください。

問題

$△ABC$の辺BC上に点Dが、三角形の内部に点Eがある。点A,D、点A,E、点B,E、点C,E、点D,Eをそれぞれ結んだとき、AB=AD=AE=BD、BE=CE、$\angle ECD=15°$となった。
$△ADE=4$のとき、$△ABC$の面積を求めよ。

解答形式

$a-b\sqrt{c}$のときは、$c(a-b)$の値を、$\frac{a}{b}$のときは、$a+b$の値を答えてください。

問題

一辺が、$6\sqrt{3}$の$正三角形ABC$がある。
ここで、操作1
「$PA:PB:PC=1:2:3$となる$点P$を三角形の内部にとる。$点P$を頂点とし、$辺AB,BC,CA$の一部をそれぞれ底辺とする正三角形を作る。」を行う。
次に操作$n$$(2\leq n\leq 2027^{2026})$とする。
「操作$(n-1)$でできた三角形において、それぞれ新たな$点A,B,C$を定め、操作1を行う。」を操作$2027^{2026}$まで繰り返す。
操作$2027^{2026}$でできた三角形全てに操作$n$と同じように$点P$を定め、それぞれの三角形の三辺に$点P$から垂線を引く。この垂線全ての長さの和を求めてください。

問題文

非負整数からなる組$(a,b)$であって
$\dfrac{a^2+b}{b^2-a}$　および　$\dfrac{b^2+a}{a^2-b}$
がともに整数となるものの個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

半径6の円Oがあり、図のように弦ABをひく。

点P₁はAから出発し、弧ABの長い方を通ってBまで動く。BについたらすぐにAへ戻り、これを繰り返すものとする。

点P₂はBから出発し、弧ABの短い方を通ってAまで動く。AについたらすぐにBへ戻り、これを繰り返すものとする。

ここで、点P₁の速さは毎秒1/3π、点P₂の速さは毎秒πとする。

さらに、弧AP₁=3/2πのときに、∠BAP₁=90°が成り立つ。

点P₁と点P₂が動き始めてから300秒後以内に、四角形AP₁BP₂の面積が最大となるタイミングは何回あるか。

解答形式

例）単位は不要です、半角数字のみで答えてください。

問題

グラフ$$xy^{2}-2x^{2}y+xy+30x-15y=15$$と$$y^{2}-x^{2}y+6xy-2x^{3}-3x^{2}+28x+3y=88$$がある。
この2つのグラフの交点全てを結んでできる多角形の面積を求めよ。

解答形式

整数又は少数を使って答えてください。

問題文

n2^n+1が平方数となるような自然数nの総和を求めよ

解答形式

例）8と9→17
7のみ→7

文字l,m,oによる3n文字の文字列を考えます。
この文字列に対して、次の操作をちょうど n 回行います。

・残っている文字列に対し、$i＜j＜k$を満たす正整数 i,j,k であって、
左から i 文字目が m、j 文字目が o、k 文字目が l であるもの**を 1 組選び、
その 3 文字を削除する。

最終的に文字列を空にすることができるような文字列の個数を​$a_{n}$とします。

例えば、molmol,momlol,momollなどは$a_{2}$の一部として数えられますが、
lmolom,mollom,mmloolなどはmol部分文字列を途中で取り出せなくなるため、$a_{2}$に含まれません。

$a_{n}≧6.02×10^{23}$となる最小のnを求めてください。

※ 数値計算に電卓を用いて構いません。

解答形式

半角で正整数を入力(空白なし)

問題文

単位円状の3点P,Q,Rは重心が(1/3,0)となるように動く。三角形PQRの面積の最大値を求めよ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。
答えのみ　数値をそのまま記入してください

問題文

あなたは今日突然術式が覚醒し$,$ 任意の結界で死滅回遊への参加を宣誓することになりました。
死滅回遊に参加したあなたは$1$日に$1$度だけ敵に遭遇し$,$ 各日の遭遇については$,$ 遭遇した敵が術師である確率が $\dfrac{1}{3}$$,$ 非術師である確率が $\dfrac{2}{3}$ である。
あなたは各日 $k＝1,2,…,19$ について$,$ 遭遇する前に確率 $p_k (0