TMC003(A)

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $D,1:3$ に内分する点を $E,$ 三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすると $\angle DHE=90°$ で，四点 $A,C,D,H$ は共円となりました。$BC=9$ の時，$AB^2$ を求めてください.

次の和の値を求めよ．$$\displaystyle\sum_{m=1}^{100}\displaystyle\sum_{n=1}^{100}{\left\lfloor \dfrac{m+100}{m+n-1} \right\rfloor}$$

以下の方程式の $0 \le x < 2\pi$ における解の総和は，正の整数 $a,b$ を用いて $a\pi -b$と表せるので， $a+b$ の値を回答してください．$$\{\cos{x}+\cos{(6x+1)}+\cos{(8x+3)}\}^2+\{\sin{x}+\sin{(6x+1)}+\sin{(8x+3)}\}^2=1$$

問題文

$AB < AC$ なる三角形 $ABC$ の辺 $AC$ 上に $AB = CP$ なる点 $P$ をとり，$2$ 点 $A , P$ を通り，直線 $BP$ に接するような円を $\omega$ とする．いま，三角形 $ABC$ の外接円と $\omega$ は $A$ でない点で交わったので，その点を $X$ とすると，直線 $AB$ は $\omega$ に接し，さらに次が成立した． $$BC = 12 ,　PX = 5$$ このとき，線分 $BP$ の長さの $2$ 乗を解答せよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$，垂心を $H$，線分 $HB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とし，線分 $MN$ と三角形 $NDC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とします．$AX\perp MN, XA=2, XD=1$ のとき線分 $AC$ の長さの二乗を解答してください．

問題文

正整数 $k$ であって，

$$2^k=a^b$$

を満たす正整数組 $(a,b)$ がちょうど $6$ 個存在するようなものを小さい順に $3$ 個求め，それらの総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$AB=32，\angle ABC=30^\circ$ なるひし形 $ABCD$ について，その内接円と辺 $AB,BC,CD,DA$ との接点をそれぞれ $E,F,G,H$ とします．四角形 $EFGH$ の面積を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$BC=3$ を満たす三角形 $ABC$ の傍心を $I_A$，三角形 $BCI_A$ の垂心を $H$ とします．$AB:AC=\angle ACH:\angle ABH=4:5$ を満たすとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式【再掲】

以下のルールに従ってください．
・非負整数値であればその整数を半角数字で解答してください．
・整数 $a$ を用いて $\sqrt a$ と表せかつその値が整数でないならば $a^2$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せかつその値が有理数でないならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ と平方数でない整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\pm \sqrt{c}}{a},\dfrac{-b+\sqrt{c}}{a}$のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．
・正整数 $a$ と平方数でない整数 $b,c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}{a}$ のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．

$AB=11, AC=18$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，線分 $AD$ が外接円の直径をなすような点 $D$ を取り，線分 $BC$ の中点を $M$，$D$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $E$ とする．三角形 $AME$ の外接円が線分 $AB$ に接するとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．

問題文

$360$ の正の約数 $24$ 個を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_{24}$ とします．$24$ 以下の正整数組 $(i,j,k)$ であって，$360=d_id_jd_k$ を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

以下の虫食い算を解きなさい．

ここで$□,A,B,C,D$には$0$から$9$までの整数が$1$つずつ入り，それぞれの$1$桁目の数字は$0$ではないとします．

ただし，異なる$□$に同じ数字が入っても構わず，$A,B,C,D$が相異なる値を取るとも限らないことに注意して下さい．

解答形式

$1000A+100B+10C+D$の正の約数の総和を解答して下さい．

問題文

正整数 $N$ に対して $N$ を $2$ 進数で表したときの $0,1$ の個数をそれぞれ $p_0(N),p_1(N)$ とします．以下を満たす正整数の組 $(A,B)$ の個数を素数 $4057$ で割ったあまりを解答してください．
$$p_1(A) \geq p_0(A), \quad p_1(B) \geq p_0(B), \quad
p_1(A)+p_1(B)=2026$$

解答形式

算用数字で解答してください．