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問題文
下の地図は，茨城県つくば市の領域 1 〜 6 を模式的に表したものである。
- 領域 1 〜 6 と地図 A 〜 F の正しい対応を答えなさい。
- 地図中の「商業施設X」「大学Y」の名称を答えなさい。略称や通称であってもよい。
解答形式
- 1 〜 6 行目に，領域に対応する地図を大文字の半角英字
A - Fで入力してください。各行の番号が領域の番号に対応します。 - 7行目に「商業施設X」の名称を，8行目に「大学Y」の名称を入力してください。
※正誤判定に不具合が生じていましたが、修正しました（2020/06/12 12:43）
問題文
関数 $f(x)$ を $f(x)=4x(1-x)$ で定義し、数列 $ \{ x_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
x_1=\sin^2{1}=0.708073418...,\ \ x_{n+1} = f(x_n) \ \ (n=1,2,...)
$$
で定める。このとき、 極限値 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log|f'(x_k)|$ を求めよ。
注: 角度の単位はラジアンを用いる。 $\log$ は自然対数を表すものとする。また、$\pi$ が無理数であることは認めてよい。
解答形式
求めた極限値を小数で表し、絶対値の小数第4位を四捨五入したものに、必要ならば負号をつけて答えよ。すべて半角で入力すること。
例1: $2\pi = 6.2831...$と解答する場合には、「6.283」と入力せよ。
例2: $-\pi = -3.1415...$と解答する場合には、「-3.142」と入力せよ。
また、必要なら以下の自然対数の値を用いよ。
$\log2 = 0.6931..., \log3=1.0986... ,\log7 =1.9459...$
問題文
$1\thicksim6$までの数字を$1$回ずつ使って空欄を埋め以下の等式を成立させてください。解が存在しない場合はその旨を答えてください。
$(1)\square\square\times\square=\square\square\square$
$(2)\square\square+\square\square=\square\square$
解答形式
1行目に$(1)$、2行目に$(2)$の解を入力してください。
等式をすべて半角で入力してください。ただし、「$\times$」はx(小文字のエックス)で代用するものとします。
存在しない場合は-1を入力してください。
また、解が複数存在する場合はどれを回答してもかまいません。
(例)
$3\times7=21$と入力する場合 3x7=21
$3+7=21$と入力する場合 3+7=10
問題文
$\mathbb{F}_7$を位数7の有限体とする。このとき$\mathbb{F}_7$係数の3次多項式であって既約かつモニックであるものはいくつ存在するか？
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
次の命題の真偽を答えなさい。
-
$0\leq a, b < 10$ を満たす実数 $a,b$ を $10$進小数 で表したものをそれぞれ $a_0.a_1a_2a_3\cdots, \;b_0.b_1b_2b_3\cdots$ とするとき，ある $k=0,1,\cdots$ に対して $a_k\neq b_k$ ならば $a\neq b$ である。
-
$\vec{a}_1, \vec{a}_2$ を平行（＊）でない平面ベクトルとする。実数 $k_1, k_2, k_1', k_2'$ に対して
\begin{equation}
k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2=k_1'\vec{a}_1+k_2'\vec{a}_2
\end{equation}が成り立つならば $k_1=k_1'$ かつ $k_2=k_2'$ である。 -
実数全体を定義域とする微分可能な実数値関数 $f(x)$ が
\begin{equation}
f'(x)=x
\end{equation}を満たすとする。このとき，$f(x)$ はある実数 $a$ を用いて
\begin{equation}
f(x)=\int_a^x t dt
\end{equation}と表せる。 -
数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ は $n\to\infty$ である実数に収束するとする 。任意の $n$ に対して $b_n\neq 0$ ならば，数列 $\displaystyle{\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}}$ も収束する。
注意
- ＊この問題では，平面ベクトル $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ が平行であるとは $\vec{a}_1=k\vec{a}_2$ となる実数 $k\neq 0$ が存在することをいいます。
- （2020/6/11 15:40 更新）命題 1 の条件を変更しました。正解には影響ありません。
解答形式
$k=1,2,3, 4$ に対して，命題 $k$ が真なら T を，偽なら F を第 $k$ 行に出力してください。
問題文
$f_m(x)$という関数列を$f_1(x)=\log{x},f_{m+1}=\log{f_m(x)}$と定義します。ただし$\log{x}$は自然対数です。
具体的には$f_1(x)=\log{x},f_2(x)=\log{\log{x}},f_3(x)=\log{\log{\log{x}}},\ldots$となります。
このとき、
$$\lim_{n\to\infty}\{f_m(3^n)-f_m(2^n)\}=0$$
となるような最小の自然数$m$を求めてください。
解答形式
半角数字で入力してください。