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halphy 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年6月10日17:57 正解数: 5 / 解答数: 22 (正答率: 22.7%) ギブアップ不可

問題文

次の命題の真偽を答えなさい。

  1. $0\leq a, b < 10$ を満たす実数 $a,b$ を $10$進小数 で表したものをそれぞれ $a_0.a_1a_2a_3\cdots, \;b_0.b_1b_2b_3\cdots$ とするとき,ある $k=0,1,\cdots$ に対して $a_k\neq b_k$ ならば $a\neq b$ である。

  2. $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ を平行(*)でない平面ベクトルとする。実数 $k_1, k_2, k_1', k_2'$ に対して
    \begin{equation}
    k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2=k_1'\vec{a}_1+k_2'\vec{a}_2
    \end{equation}が成り立つならば $k_1=k_1'$ かつ $k_2=k_2'$ である。

  3. 実数全体を定義域とする微分可能な実数値関数 $f(x)$ が
    \begin{equation}
    f'(x)=x
    \end{equation}を満たすとする。このとき,$f(x)$ はある実数 $a$ を用いて
    \begin{equation}
    f(x)=\int_a^x t dt
    \end{equation}と表せる。

  4. 数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ は $n\to\infty$ である実数に収束するとする 。任意の $n$ に対して $b_n\neq 0$ ならば,数列 $\displaystyle{\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}}$ も収束する。

注意

  • *この問題では,平面ベクトル $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ が平行であるとは $\vec{a}_1=k\vec{a}_2$ となる実数 $k\neq 0$ が存在することをいいます。
  • (2020/6/11 15:40 更新)命題 1 の条件を変更しました。正解には影響ありません。

解答形式

$k=1,2,3, 4$ に対して,命題 $k$ が真なら T を,偽なら F を第 $k$ 行に出力してください。


ヒント1

命題 2 については「注意」をよく読んでください。


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解答提出

この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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$$
x_1=\sin^2{1}=0.708073418...,\ \ x_{n+1} = f(x_n) \ \ (n=1,2,...)
$$

で定める。このとき、 極限値 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log|f'(x_k)|$ を求めよ。

注: 角度の単位はラジアンを用いる。 $\log$ は自然対数を表すものとする。また、$\pi$ が無理数であることは認めてよい。

解答形式

求めた極限値を小数で表し、絶対値の小数第4位を四捨五入したものに、必要ならば負号をつけて答えよ。すべて半角で入力すること。
例1: $2\pi = 6.2831...$と解答する場合には、「6.283」と入力せよ。
例2: $-\pi = -3.1415...$と解答する場合には、「-3.142」と入力せよ。

また、必要なら以下の自然対数の値を用いよ。
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解答形式

$(2)$ で $m=100$ のときの答えを半角数字で入力してください。