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問題文

この問題及び解説では、常用対数をlog,自然対数をlnと表す。
十進法での
$$A= \sum_{m=1}^{100} m^{3}、B= \sum_{l=1}^{A} l^{2}、C=\sum_{k=1}^{B} k$$
について、以下の問いに答えよ。
$0.3010＜log2＜0.3011$、$0.4771＜log3＜0.4772$である。
(1)1未満の正実数xに対して$log(1+x)＜x$を示せ。
(2)Bに9でない桁が含まれる事を示せ。
(3)以上を用いてCの桁数を求めよ。
(4)$\lfloor \frac{B^{2}}{2C} + 10^{n} \rfloor = \lfloor \frac{B^{2}}{2C} \rfloor$を満たす最大の整数nを求めよ。

解答形式

全て要証明、(3)は解答方針の指示に従う事。

$N$ を自然数とし、以下の変数を定義します。
* $S$：$N$ の各位の和
* $P$：$N$ の各位の積
* $k$：$N$ の桁数

このとき、次の条件式を満たす自然数 $N$ をすべて求めてください
$$N = S^k + P \dots (*)$$
なお、必要であれば常用対数の値を用いてもよいです。

(例) $N = 1234$ のとき
* $S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$
* $P = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$
* $10^3 \le 1234 < 10^4$ より $k = 4$
このとき、$S^k + P = 10^4 + 24 = 10024$ となります。
$N \neq S^k + P$ （$1234 \neq 10024$）であるため、この $N$ は条件を満たさないことがわかります。

解答形式

Nを小さい順に並べて解答してください

解答例:N=12,34のとき(実際の解とは異なりますが…)
12
34

問題文

【問題】

対数表を用いずに、以下の問いに答えよ。

(1) 次の不等式を示せ。
$$
\frac{3}{10} < \log_{10}(2) < \frac{4}{13}
$$

(2) 次の不等式を示せ。
$$
0.47 < \log_{10}(3) < 0.48
$$

解答形式

(1),(2)はそれぞれ証明完了としてくれれば問題ないです。※(1)は１行目(2)は2行目にお願いします
·解答例　(1),(2)がどちらも示せたとき
証明完了
証明完了

問題文

$\log_2 25$ の小数部分をbとする
このとき、$\log_{10}2$ をbを用いて表せ

解答形式

答えのみ

問題文

$\log_227$の整数部分を答えよ

問題

$ｎ$を $0$ でない実数とします。以下の定積分を求めてください。

解答形式

答えだけでもいいですが、方針があると嬉しいです。

問題文

$$
f(x)=log_x 2とする。y=f(f(f(x)))について、
$$
(1)　定義域を述べよ。
(2)　y=2のときxの値を求めよ。

問題文

数列{a_n}を,
a_1=log2 , a_(n+1)=(na_n+log(2n+1)+log2)/(n+1)
によって定める。
このとき, この数列の一般項 a_n および 極限値 lim(n→∞) (a_n-logn) をそれぞれ求めよ。

記述解答(大雑把で良い)でお願いします。