数学の問題一覧
問題文
原点を中心とする単位円 $C_0$ と，直線 $l:x=a$ $(|a| \leq 1)$ に対して，$C_0$ が $l$ から切り取る線分を直径とする円 $C_1$ を考える（ただし，$C_0$ と $l$ が接する場合は，その接点を $C_1$ とする）。
実数 $a$ を $-1$ から $1$ まで連続的に動かすとき，$C_1$ の通過する領域を求めよ。また，その領域の面積を求めよ。
註
「円」と「円板」とは厳密に区別すること（例えば，$x^2+y^2=1$ は前者，$x^2+y^2 \leq 1$ は後者である）。 本問の $C_0$ 及び $C_1$ は「円」であって「円板」ではない。
解答形式
求める面積は，$k$ を実数として $k\pi$ と表されます。この定数の平方である $k^2$ を入力してください。
問題文
$p$を素数,$n$を正の整数とします.$3p^2=n!+141$を満たす$n,p$の組を全て求めてください.
解答形式
与式を満たす組$(p_1,n_1),(p_2,n_2)...(p_m,n_m)(p_1<p_2<...p_m)$について,
$p_1\times n_1+p_2\times n_2 +... p_m\times n_m$の値を半角数字で入力してください.
問題文
実数aを媒介変数とし、定数$$g＝\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$$とする。
(1).関係式$$g(ax+y)-(g(x-ay))^2＝4$$を与える。aを変化させたとき、この関係式を満たす点(x,y)全体の集合をxy平面上に図示せよ。
例)y＝a(0≦a≦5)ならば、y＝0とy＝5の間の領域を図示する。
(2).関数$$y^2＝|x|-4$$をxy平面に図示し、(1)で求めた領域との位置関係を明確にせよ。
(3).(1)と(2)で図示した領域の和集合の面積を求めよ。ただし、領域の範囲は、|x|≦8,|y|≦8に限るものとする。
解答形式
(1)(2)は誘導です。解答は(3)の面積のみ行ってください。
分子の値(空白(半角1マス))分母の値 と解答してください。
また、演算記号は半角を用いて、円周率はπとして、×は省略してください。
例)$$\frac{1-3×π}{2}$$ならば、
1-3π 2
問題文
実数aを媒介変数とし、定数$$g＝\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$$とする。
(1).関係式$$g(ax+y)-(g(x-ay))^2＝4$$を与える。aを変化させたとき、この関係式を満たす点(x,y)全体の集合をxy平面上に図示せよ。
例)y＝a(0≦a≦5)ならば、y＝0とy＝5の間の領域を図示する。
(2).関数$$y^2＝|x|-4$$をxy平面に図示し、(1)で求めた領域との位置関係を明確にせよ。
(3).(1)と(2)で図示した領域の和集合の面積を求めよ。ただし、領域の範囲は、|x|≦8,|y|≦8に限るものとする。
解答形式
(1)(2)は誘導です。解答は(3)の面積のみ行ってください。
分子の値(空白(半角1マス))分母の値 と解答してください。
また、演算記号は半角を用いて、円周率はπとして、×は省略してください。
例)$$\frac{1-3×π}{2}$$ならば、
1-3π 2
問題文
nを自然数、T(n)をcosθの多項式としてT(n)＝cosnθと定める。このとき、以下の漸化式が成り立つことを与える。
$$T(n+2)-2cosθ×T(n+1)+T(n)＝0$$
k,m,s,t,u,a,b,cを自然数、p,qを素数、θを実数とする。ただし、k≧3，a<bとする。
関数$$f(θ)＝cos((k+1)θ)，g(θ)＝cos(kθ)$$に関して、
次の式①がθの値によらず恒等的に成り立つような(k,m,s,t,u,a,b,c,p,q)の組を求めよ。
①:$$4m\frac{d}{d(cosθ)}f(θ)＝10pq・g(θ)+(s-1)(cosθ)^{k-1}+(t^3-2^u+24)(cosθ)^{k-2}+(3^a+3^b-6^c-20)$$
解答形式
問題文に指定された順に、半角のカンマ(,)で区切って解答してください。
このような形です→k,m,s,t,u,a,b,c,p,q
備考
解答には反映しませんが、求めた解の唯一性まで示してみると面白いです。
問題文
完全数たる半素数を全て求めよ。
註
完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$
半素数：$2$ つの素数の積で表される数。
解答形式
解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。
問題文
あなたは今日突然術式が覚醒し$,$ 任意の結界で死滅回遊への参加を宣誓することになりました。
死滅回遊に参加したあなたは$1$日に$1$度だけ敵に遭遇し$,$ 各日の遭遇については$,$ 遭遇した敵が術師である確率が $\dfrac{1}{3}$$,$ 非術師である確率が $\dfrac{2}{3}$ である。
あなたは各日 $k＝1,2,…,19$ について$,$ 遭遇する前に確率 $p_k (0<p_k \leqq 1)$ を取り$,
$ 以下のゲームを考える。
・その日に術師と遭遇した場合$,$ $\sqrt{p_k}$ で勝利し$,$ 勝てば$5$点を奪うことができる。負けた場合$5$点奪われることになる。
・その日に非術師と遭遇した場合$,$ $\sqrt{1-p_k}$ で勝利し$,$ 勝てば$1$点を奪うことができる。同様に負けた場合$5$点奪われることになる。
$19$日間の総得点の期待値の最大値を求めてください。また$,$ 期待値が最大となるときの $p_k$ を答えてください。
解答形式
求める期待値の最大値は互いに素な正整数 $a,c$$,$ 平方因子をもたない $b$$,$ 正整数 $d$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}-d$ と表せるので$,$ $a+b+c+d$ の値とその後ろに $p_k$ の分母と分子の和をすべて半角で入力してください。
※空白はいりません。
例: 最大値が $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}-4$ で$,$ そのとき $p_k=\dfrac{1}{2}$ の場合 → $143$
問題文
正十二角形ABCDEFGHIJKL があります。
袋の中に A〜L までの文字が書かれた12枚のカードが入っています。この袋からカードを1枚引いては戻す作業を 5回 繰り返します。
引いたカードに記された頂点同士を、円周上の順番に従って結び、多角形を作ります。ただし、以下のルールに従うものとします。
同じ頂点を複数回引いた場合は、1つの頂点としてカウントする。
選ばれた頂点の種類が2種類以下の場合は、多角形ができないものとして面積を0とする。
結んだ線分が多角形の内部で交差しないよう、頂点を結ぶ。
このとき、形成された多角形の面積が、もとの正十二角形の面積のちょうど 1/3 になる確率を求めなさい。
解答形式
解答はx/yと表せられるのでx+yの値を答えなさい