数学の問題一覧

問題文

正の実数 $x,y,z$ が $x+y+z=xyz$ を満たしているとき,

$$\dfrac{x}{1+x^2}+ \dfrac{y}{1+y^2}+ \dfrac{z}{1+z^2}$$

の最大値を求めてください.

解答形式

求める値は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて, $\dfrac{a \sqrt{b}}{c}$ と表せるから, $a+b+c$ を解答してください.

問題文

数列$\ a_{n}$は以下のように定義されます.
$$a_{1}=1,a_{n+1}=2a_{n}+2\cos\frac{n\pi}{3}$$
このとき,$$\displaystyle\sum_{k=1}^{50000}a_{k}$$の正の約数の個数を解答してください.

解答形式

整数で解答してください.

問題文

正の整数 ${n}$ に対して定義される数列 ${a_n}$ が
$${a_1=2, a_2=-4, a_{n+2}-2a_{n+1}+4a_n=0}$$
を満たしている。
${|a_{2025}|}$ の正の約数の個数を求めよ。

解答形式

整数で入力してください

問題文

整数 ${n}$ に対して定義される数列 ${a_n}$ が
$${a_0=2, a_1=4, a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0}$$
を満たしている。
$${a_{2026}-a_{-2026}}$$
を求めよ。

解答形式

整数で入力してください

問題文

$n,a$を自然数とする。$n!$の末尾の$０$の個数を$N(n)$,$n$を$a$進数で表した時の各桁の和を$S_{a}(n)$とする。(例えば$S_{10}(141)=6$)
このとき，$N(n)$を$S_{a}(n)$，$n$を用いて表せ。

√１から√100までを√n、√mとし範囲は√１≤√n≤√100、また同様に√１≤√m≤√100とする、
√n=aとし、√m=b
a/bが有理数となるのは何通りあるか、
その確率を求めよ
ただし、重複を許さない。
また回答は　
求めた値(該当するもの)/求めた値(全体的)
で答えてください

1.

半径 $r$ の円 $ \mathrm{O}\ $があり、この円の周上に定点 $ \mathrm{A}\ $ がある。点 $ \mathrm{A}\ $ における円 $ \mathrm{O}\ $の接線を $l$ とする。円 $ \mathrm{O}\ $ 上を動く点 $ \mathrm{P}\ $ に対し、点 $ \mathrm{P}\ $ から直線 $l$ に下ろした垂線の交点を $ \mathrm{H}\ $ とする。

(1) $\mathrm{AP}^{2}\ $を $r$ と $ \mathrm{AH}\ $ を用いて表せ。

(2) $k$ を定数とする。 このとき ${\mathrm{AP}^{2}=k\cdot \mathrm{AH}}$ が成り立つことを示せ。

(3)${\triangle \mathrm{APH}}$の面積を $ \mathrm{AH}\ $ を用いて表せ。また、点 $ \mathrm{P}\ $が円 $ \mathrm{O}\ $上を動くとき、${\triangle \mathrm{APH}}$ の面積が最大となる点 $ \mathrm{P}\ $の位置を求めよ。

2.

座標平面上に2点$ \mathrm{A}(1,0)$, $\mathrm{B}(0,1)$ がある。$(0\le \theta \le \frac{\pi }{2}) $の範囲を動く点 $\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ) $を考える。

(1) $\triangle \mathrm{ABP}$ の面積を $\theta $ を用いて表せ。

(2) $\triangle \mathrm{ABP}$ の面積の最大値を求めよ。

(3) $\triangle \mathrm{ABP}$ が直角三角形となるような $\theta $ の値をすべて求めよ。

(4) $\triangle \mathrm{ABP}$ の重心 $ \mathrm{G}$ の軌跡を求めよ。

3.

二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ を考える。ただし、(a,b,c) はすべて奇数である整数とする。このとき、この二次方程式の解が無理数であることを証明せよ。

4.

数列 ${{a_{n}}}$は、${a_{1}=1}$ であり、すべての自然数 $n\ $に対して $${a_{n+1}=\frac{2a_{n}+3}{a_{n}+2}}$$を満たすものとする。

(1) ${{a_{n}}}$ の一般項を求めよ。

(2)すべての自然数 $n\ $に対して、${a_{n}<\sqrt{3}}$ であることを示せ。

(3) ${|a_{n}-\sqrt{3}|<\frac{1}{2^{n-1}}(\sqrt{3}-1)}$ が成り立つことを示せ。

5.

$a,b$を正の実数とする。楕円 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\ $上の点 $\mathrm{P}(x_{0},y_{0})(x_{0}>0,y_{0}>0) $における接線を $l$とする。接線 $l$と $x$ 軸、および$y$軸で囲まれる三角形の面積を $S$ とする。

(1) 点 $\mathrm{P}$が楕円上を動くとき、面積 $S$ の最小値を $(a,b)$ を用いて表せ。 

(2) 楕円の焦点の1つを $\mathrm{F}\ $とし、$\mathrm{F}\ $と接線 $l$との距離を $d$ とする。この時、$d$の最大値と最小値を $(a,b)$ を用いて表せ。 

(3) 焦点 $F$ から接線 $l$ までの距離を$d_{1}$、もう1つの焦点 $F^{\prime }\ $から接線 $l$ までの距離を$d_{2}$とする。このとき、 $d_{1}d_{2}$ は常に一定であることを示せ。また、その値を$(a,b)$ を用いて表せ。

問題文

cos$\frac{2}{7}π$は有理数か。
ただし、角度は弧度法で表されている。

解答形式

証明方式

解答形式

(1)は微分の結果のみ、(2),(3)は通常通り回答してください。

ある箱Hに赤玉5個、白玉4個入っている、Aさんが白たまを引くとき、Bさんは青玉を白玉の代わりに入れる、
同様に赤玉を引いたとき、Ｂさんは緑玉を代わりに入れる、その後Gさんが箱から玉を取り出す、この時青玉を取り出す確率は幾つであるか

回答は
該当/全体的
で記入してください

問題文

数列{$a_{n}$}を次の条件により定める。
$$
a_{1}=a_{2}=1,
a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n}=0
　(n=1,2,3,...)$$
これについて、次の問いに答えよ。
$(1)$　$a_{3}$を求めよ。
$(2)$　$a_{2025}$を求めよ。
$(3)$　$\sum_{n=1}^{2025}\quad{a_{n}}$を求めよ。

解答形式

答えのみを半角算用数字で答えてください
例えば(1)の答えが3、(2)の答えが100、(3)の答えが80のときは、
3,100,80
のように答えてください。

問題

任意の自然数nにおいて、$A(n+1)=\frac{A(n)^2+A(n+2)^2}{A(n)+A(n+2)},A(n)>0$
が成り立つ数列{A(n)}をA(2),A(1)の値に
よって定める。
この数列はA(2)>A(1)>0を満たす
任意の(A(1),A(2))組に対して一意に定まる。
$$\lim_{n\to \infty}A(n)を求めよ。
$$(但し、数列{X(n)}において常にX(n)>X(n+1)>x
ならX(n)が収束することを用いて良い)

解答形式

収束するならその値を、
振動するときは'振動する'と、
無限大に発散する時は∞と答えよ。