数学の問題一覧

問題文

すべての複素数に対して定義され、複素数の値をとる関数 $f(z)$ は、すべての複素数 $z,w$ について

$$
f(z+w)=f(z)f(w)+zw　...(*)
$$

をみたすとする。以下の問いに答えよ。

⑴ すべての複素数 $z$ について $f(2)f(z)+z = f(1)f(z+1)+1$ が成り立つことを示せ。
⑵ $(*)$ をみたすような $f(z)$ をすべて求めよ。

解答形式

⑵を解答したうえで、以下の空欄ア～エに当てはまる0～9の整数を順に並べて4桁の半角数字「アイウエ」を入力せよ。根号の中身が最小になるように解答せよ。

$|f(5+11i)|$ のとりうる値のうち最大のものは$(アイ)$, 最小のものは$(ウ)\sqrt{(エ)}$ である。

問題文

全長 $L$ mのリムジンが、下図のように直角に曲がったトンネルを、幅 $a(>0)$ mの道から幅 $b(>0)$ mの道へ曲がろうとしている。
このとき、リムジンがトンネルを曲がることのできる最大の全長 $L_{max}$ (m)を求めよ。なお、車の全幅は考えなくて良いものとする。

解答形式

$a=5,b=6$のときの$L_{max}$の値を関数電卓を用いて計算せよ。答えは、小数第４位の数字を四捨五入したものを解答せよ。

問題文

関数 $f(x)$ を $f(x)=4x(1-x)$ で定義し、数列 $ \{ x_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
x_1=\sin^2{1}=0.708073418...,\ \ x_{n+1} = f(x_n) \ \ (n=1,2,...)
$$

で定める。このとき、 極限値 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log|f'(x_k)|$ を求めよ。

注: 角度の単位はラジアンを用いる。 $\log$ は自然対数を表すものとする。また、$\pi$ が無理数であることは認めてよい。

解答形式

求めた極限値を小数で表し、絶対値の小数第4位を四捨五入したものに、必要ならば負号をつけて答えよ。すべて半角で入力すること。
例1: $2\pi = 6.2831...$と解答する場合には、「6.283」と入力せよ。
例2: $-\pi = -3.1415...$と解答する場合には、「-3.142」と入力せよ。

また、必要なら以下の自然対数の値を用いよ。
$\log2 = 0.6931..., \log3=1.0986... ,\log7 =1.9459...$

問題文

次の命題の真偽を答えなさい。

1. $0\leq a, b < 10$ を満たす実数 $a,b$ を $10$進小数 で表したものをそれぞれ $a_0.a_1a_2a_3\cdots, \;b_0.b_1b_2b_3\cdots$ とするとき，ある $k=0,1,\cdots$ に対して $a_k\neq b_k$ ならば $a\neq b$ である。

2. $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ を平行（＊）でない平面ベクトルとする。実数 $k_1, k_2, k_1', k_2'$ に対して
   \begin{equation}
   k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2=k_1'\vec{a}_1+k_2'\vec{a}_2
   \end{equation}が成り立つならば $k_1=k_1'$ かつ $k_2=k_2'$ である。

3. 実数全体を定義域とする微分可能な実数値関数 $f(x)$ が
   \begin{equation}
   f'(x)=x
   \end{equation}を満たすとする。このとき，$f(x)$ はある実数 $a$ を用いて
   \begin{equation}
   f(x)=\int_a^x t dt
   \end{equation}と表せる。

4. 数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ は $n\to\infty$ である実数に収束するとする 。任意の $n$ に対して $b_n\neq 0$ ならば，数列 $\displaystyle{\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}}$ も収束する。

注意

• ＊この問題では，平面ベクトル $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ が平行であるとは $\vec{a}_1=k\vec{a}_2$ となる実数 $k\neq 0$ が存在することをいいます。
• （2020/6/11 15:40 更新）命題 1 の条件を変更しました。正解には影響ありません。

解答形式

$k=1,2,3, 4$ に対して，命題 $k$ が真なら T を，偽なら F を第 $k$ 行に出力してください。

問題文

$f_m(x)$という関数列を$f_1(x)=\log{x},f_{m+1}=\log{f_m(x)}$と定義します。ただし$\log{x}$は自然対数です。
具体的には$f_1(x)=\log{x},f_2(x)=\log{\log{x}},f_3(x)=\log{\log{\log{x}}},\ldots$となります。
このとき、
$$\lim_{n\to\infty}\{f_m(3^n)-f_m(2^n)\}=0$$
となるような最小の自然数$m$を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$65537=2^{16}+1$ が素数かどうか、計算機を使わずに判定したい。以下では $p$ を3以上の素数として、⑴から⑸の問いに答えよ。

⑴ $2^p$ を $p$ で割ったあまりは $p$ によらないことを示し、その値を求めよ。
⑵ $65537$ が $p$ で割り切れるとき、$2^n$ を $p$ で割ったあまりが $1$ になるような最小の自然数 $n$ を求めよ。
⑶ $65537$ が $p$ で割り切れるとき、$p$ を $32$ で割ったあまりとしてあり得る値をすべて求めよ。
⑷ $ p < \sqrt{65537}$ をみたす $p$ であって、$p$ を $32$ で割ったあまりが⑶で求めた数になるようなものをすべて求めよ。
⑸ 以上の結果から、$65537$ が素数かどうか判定せよ。

解答形式

以下の指示に従って、すべて半角数字で入力せよ。

⑴から⑷までの答えはいずれも非負整数である。
⑴の答えを1行目に入力せよ。
⑵の答えを2行目に入力せよ。
⑶の答えは1つずつ改行して3,4,......i 行目に小さい順に入力せよ。
⑷の答えも1つずつ改行してi+1,i+2, ......j行目に小さい順に入力せよ。
最後に⑸の答えとして、$65537$ が素数であれば1を、そうでなければ0を入力せよ。

20/06/19: 解答の一部にミスがあったため修正しました。

問題文

ある二つの自然数a,bは積が和より1000大きくどちらかが立方数だった
この時a,bの組を全て求めよ

解答形式

a<bとした時のaを小さい順に半角数字で解答せよ
例　(4,7)(8,91)の時は48

問題文

AさんBさんの二人の人がいる
この時サイコロをAさんが投げる
1.2.3が出たら次回は次の人がサイコロを投げる
4.5が出たら次回も同じ人が投げる
6が出たら勝利である
N回目でAが勝利する確率を求めよ

解答形式

Nについての式を求めよ

問題文

2つのパラメーター(0,0)
がある
一回の操作でどちらかの数字を1増やすか減らすかする
それぞれ1/4の確率で起こる
この時操作をした回数が2n(nは自然数)の時パラメーターが(0,0)になる確率はnが大きければ大きいほど低くなることを証明せよ

解答形式

証明形式

問題文

定積分

$$
\int_0^1 (\sqrt[7]{1-x^{11}}-\sqrt[11]{1-x^{7}})dx
$$

を求めよ。

解答形式

値は半角数字で記述せよ。無理数などを用いたい場合は必要ならばTeX記法により記述せよ。

問題文

$a=e^{2AX},c=e^{2CX}$(Xは正の定数，A，Cは実数)とする．
$f(x)=-a\log_e(x+c)+X$とする．$y=f(x)$の$y$切片を点P，
$y=f(x)$と点$(0,X)$で接する接線$l$と$y$軸とが成す角を
$\theta\;(\theta\mbox{は}0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\mbox{を満たす実数})$，$y=f(x)$の$x$切片を点Qとする．
$\tan\dfrac{\theta}{2}$をネイピア数$e$を用いて表せ．
また，点Qの$x$座標が正の無限大に大きくなるとき，$\tan\dfrac{\theta}{2}$の値の極限値を求めよ．

解答形式

記述式解答を求む．(直感で答えが出る可能性があるので)

問題文

$n$を2以上の整数とし, $f(x)=\sqrt[n]{x^n+nx^{n-1}} (x\geq0)$を考える。

$(1)$ $x$を正の整数とするとき, $f(x)$の値が整数でないことを示せ。

$(2)$ $y=f(x)$, $x$軸, $x=m-1$ ($m$は正の整数) で囲まれた領域内(境界線上も含む)の格子点の数を求めよ。

解答形式

$(2)$ で $m=100$ のときの答えを半角数字で入力してください。