必要条件？十分条件？あれ？

問題文

正方形2つを図のように配置しました。青で示した角の大きさを求めてください。

解答形式

$x=a$ 度です。$0\leq a\lt 180$ を満たす整数 $a$ を半角数字で解答してください。

問題文

図のような半円2つと正方形を組み合わせた図形があります。2つの半円弧に引いた接線が直交しているとき、図中の青で示した角の角度を求めてください。

解答形式

度数法で単位を付けずに0以上180未満の数を半角で解答してください。
例：$x=120°$であれば、120 と解答

問題文

A,B,Cの三人がこの順で時計回りに座って次のようなゲームをする。
(i)始め、AはCと書かれたカード、BはAと書かれたカード、Cは無地のカードとBのカードを持っている。
(ii)Aから時計回り順で、反時計回りに隣の人が持つカードから1つを等確率で選んで引く。
(iii)(ii)を繰り返して、自分の名前の書かれたカードを最初に引いた人を勝ちとする。
A,B,C,がが勝つ確率をそれぞれ、$a$,$b$,$c$とする。$a$,$b$,$c$をそれぞれ求めよ。

解答形式

半角英数字で(分子)/(分母)として既約分数で解答してください。(例)35/216
$a$を1行目、$b$を2行目、$c$を3行目に、解答してください。完答で正解とします。
8/25追記　解説を公開しました。

問題文

$p$を$5$以上の素数とする。$1$から$p-1$までの整数が書かれたカードが$1$枚ずつある。
これらから$3$枚を同時に選び、それらに書かれていた数を$a,b,c$とし、$ab+bc+ca$が$p$の倍数となる確率を求めよ。

解答形式

半角英数字で分子を一行目に、分母を二行目に展開して完全に約分された形で回答してください。
(例)$\frac{p}{p^2-4}$と回答する場合
p
p^2-4
9/1追記解説を公開しました。

問題文

$1,2...nの数字を次の条件を満たすように一列に並べる方法の数をa_nとする。$
$条件:k(k=1,2,...n-1)について右隣の数がk+1でない。$
$このとき、a_7を求めよ。$

解答形式

半角数字で回答してください。
4/19追記この問題は、改善点があるので、工事予定です。

【補助線主体の図形問題 #099】
　今週の図形問題は、通算99問目ということで正九角形を取り上げてみました。タネがわかれば余裕で暗算処理可能です。まずは紙＆筆記具を使わずに頭の中で補助線を思い浮かべながら挑戦してみてください。

解答形式

${\renewcommand\deg{{}^{\circ}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$　　$\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

$$
\sum_{k=1}^{10} {}_{10}{\mathrm{C}}_{k}\cdot9^k\cdot k
$$

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

図の条件の下で、ピンクで示した線分の長さを求めてください。

解答形式

互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $x=\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください。

問題文

$x$の4次方程式
$$
x^{4}-5x^{3}-2(n+7)x^{2}+5nx+n^{2}=0
$$が異なる4つの整数解をもつとき、整数$n$の値を求めよ。

解答形式

半角数学で解答してください。
また、$n$の値が2つ以上ある場合
改行して小さい順に並べてください。

(例) $n= -5 , -4$ のとき
-5
-4

A以上B以下の整数に出現する1の個数を、A●Bと表すとする。
例えば6、7、8、9、10、11には、3つの1が出現しているため、6●11＝3 となる。

（15●30）●（220●X）＝12 のとき、考えられる整数Xとして最も大きいものを答えなさい。

問題文

$\frac{7p+q}{7q+p}$が整数となるような異なる素数$(p,q)$の組み合わせを全て求めよ。

解答形式

$p$と$q$を横につなげて解答してください。解答が2つ以上ある場合は$p$の小さい順に改行して記入してください。$p$が等しい解答が2つ以上あった場合、$q$の小さい順に改行して記入してください。

解答例)$(p,q)=(2,11),(7,17),(7,29)$のとき、以下のように解答します。
211
717
729

問題

以下の問に関して, $2.71<e<2.72$ , $3.14<π<3.15$ とする.

(1) $a≠0$ のとき $a+1$ , $e^a$ の大小を比較せよ.

(2) $α>0$ かつ $β>0$ かつ $α≠β$ のとき,
$\hspace{11pt} $ $α-β$ , $β(logα-logβ)$ の大小を比較せよ.

(3) $e^π$ , $π^e$ の大小を比較せよ.

(4) $e^{e^e},e^{e^π},e^{π^e},e^{π^π},π^{e^e},π^{e^π},π^{π^e},π^{π^π} $ の大小を比較せよ.
$\hspace{11pt} $ここで, $a^{b^c}$は $a^{(b^c)} $を表す.

解答形式

(1) ① $a+1$ ② $e^a$
(2) ① $α-β$ $\:$② $β(logα-logβ)$
(3) ① $e^π$ ② $π^e$
(4) ①$e^{e^e}$②$e^{e^π}$③$e^{π^e}$④$e^{π^π}$⑤$π^{e^e}$⑥$π^{e^π}$⑦$π^{π^e}$⑧$π^{π^π} $
として問ごとに改行し,小さい順に左から半角数字を用いて並べよ.
(例)12345678